20. Понятие точности. Постоянные ошибки.

Обратимся к стандартной структуре системы автоматического управления, представленной на рис. 3.1. Основным назначением системы является как можно более точное воспроизведение управляющего сигнала. Естественно, что точность системы можно оценивать величиной разности управляющего сигнала и выхода , т.е. величиной ошибки . Очевидно, чем меньше величина пo модулю в каждый данный момент времени, тем система с большей точностью (меньшей ошибкой) воспроизводит управляющий сигнал. На практике интересуются не полной ошибкой системы , а так называемой установившейся ошибкой , которую определяют для достаточно больших моментов времени после затухания переходной составляющей.

Изображение ошибки в соответствии с рис. 3.1 можно записать в виде

, (6.1)

где , , .

Из (6.1) следует, что ошибка системы будет определяться суммой двух составляющих: ошибкой системы от управляющего и ошибкой системы от возмущающего воздействий. В силу линейности системы методика вычисления каждой из этих составляющих будет однотипной, поэтому рассмотрим лишь методы вычисления ошибки системы от управляющего сигнала.

При определенных типах воздействий и определенной структуре системы установившаяся ошибка в системе будет постоянной и может быть вычислена на основании правил операционного исчисления по выражению

. (6.2)

Рассмотрим входные воздействия: , , , , изображения которых будут соответственно равны: , , , .

Пусть передаточная функция разомкнутой системы .

Если (статическая система), то, подставляя в (6.2) и , получим

. (6.3)

Ошибку будем называть статической ошибкой системы.

При (система с астатизмом первого порядка) вычислим ошибку при воздействиях и . Подставляя передаточную функцию и изображение входного сигнала в (6.2), получим соответственно для первого и второго типов входного сигнала

, , (6.4)

где ошибку будем называть ошибкой по скорости (скоростной ошибкой).

При и входных сигналах , , соответственно получим выражения ошибок:

, , , (6.5)

где – ошибка системы по ускорению.

При воздействии вида для системы с астатизмом -го порядка получаем

. (6.6)

Из приведенных выражений следует, что ошибки в системе уменьшаются с ростом порядка астатизма системы и увеличением общего коэффициента усиления K.

На рис. 6.1 показаны переходные процессы в различных системах при отработке скачка по положению и скорости: кривая 1 – для статической системы, 2 – для системы с астатизмом первого порядка, 3 – для системы с астатизмом второго порядка.

Рис. 6.1

21. Установившаяся ошибка при производном сигнале.

Обозначим весовую функцию замкнутой системы по ошибке через . Тогда соотношению во временной области будет соответствовать свертка .

Так как нас интересует установившаяся ошибка после затухания переходной составляющей, то отнесем нижний предел интегрирования, соответствующий моменту подачи входного сигнала, в . В этом случае получим выражение, справедливое для установившегося значения сигнала ошибки: .

Заменив переменную интегрирования , получим

. (6.7)

Полагая функцию аналитической, разложим ее в ряд Тейлора при : и подставим полученный ряд в (6.7). В результате получим

, (6.8)

где коэффициенты определяются выражением .

Так как передаточная функция замкнутой системы по ошибке есть прямое преобразование Лапласа от весовой функции , то очевидно соотношение

. (6.9)

Коэффициенты носят название коэффициентов ошибок и характеризуют, с каким весом функция и ее производные входят в общее выражение для установившейся ошибки (6.8). Если входной сигнал изменяется достаточно медленно, то в выражении (6.8) можно ограничиться конечным числом членов ряда.

Если , то . В статической системе и , для системы с астатизмом первого порядка имеем и , а

Аналогично можно показать, что для астатической системы с астатизмом -го порядка , .

Коэффициент называют коэффициентом статической ошибки, – коэффициентом скоростной ошибки, – коэффициентом ошибки по ускорению. Из (6.8) следует, что если , то , если , то .

В общем случае формула (6.9) редко используется для вычисления . На практике применяется другой способ. Разложим передаточную функцию в ряд Маклорена при s = 0:

. (6.10)

С другой стороны, так как есть отношение полиномов, то деля полином числителя на полином знаменателя, получим ряд

. (6.11)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s в (6.10), (6.11), получим

. (6.12)

Величина коэффициентов ошибок в конечном итоге определяет величину ошибки в системе. Из изложенного выше вновь следует, что величины будут тем меньше, чем выше порядок астатизма системы и чем больше величина коэффициента усиления K разомкнутой системы.