1.6. Типы особых точек и фазовые портреты линейных систем

В качестве исходного материала, используемого в даль­нейшем при изучении нелинейных систем, рассмотрим особые точки линейных систем второго порядка. Уравне­ния линейной системы имеют вид

(1.24)

или в векторно-матричной форме

,

при условии, что матрица А невырожденная, т. е. . Дифференциальное уравнение фазовых траек­торий, согласно (1.24), имеет вид

(1.25)

Единственной особой точкой (точкой равновесного состоя­ния системы) является точка , .

Пусть корни и характеристического уравнения

(здесь Е— единичная матрица) различны. Путем подста­новки вида , где Р — некоторая невырожденная матрица, матрицу А можно привести к диагональному виду. Уравнения (1.24) примут вид

где - диагональная матрица

или

Решением этих уравнений является

(1.26)

Рассмотрим фазовые траектории в условной си­стеме координат , а затем отобразим фазовые траектории на плоскость исходных координат .

Случай вещественных корней . Переходный про­цесс — апериодический. Пусть

(1.27)

Исключив t из решения (1.7), получим уравнение фазо­вых траекторий

(1.28)

Если знаки корней одинаковы, то с учетом (1.27) имеем и фазовые траектории представляются в виде парабол, как показано на рис. 1.32. При этом направление движения изображающей точки М по любой фазовой траектории определяется уравнением (1.26), а именно: случаю , отвечает рис.1.32, а, что соответствует затухающим переходным процессам. Случай , (рис.1.28,б) соответствует расходящимся переходным процессам.

а) б)

Рис.1.32. Фазовые траектории в виде парабол

Если же знаки корней различны, то в урав­нении (1.28) имеем , и фазовые траек­тории имеют вид гипер­бол (рис. 1.33).

В случае отрицатель­ных вещественных корней (рис.1.32, а) особая точ­ка 0 называется точкой типа «устойчивый узел».

В случае положитель­ных вещественных кор­ней (рис. 1.32, б) осо­бая точка 0 называется точкой типа «неустойчи­вый узел».

Рис.1.33. Случай вещественных

корней разных знаков

В случае же вещественных корней разных знаков (рис. 1.33) особая точка 0 называется точкой типа «сед­ло». Седловая точка всегда неустойчива.

Отобразим полученные фазовые портреты линейной системы на плоскость исходных координат . Ис­пользуем тот факт, что оси парабол и асимптоты гипер­бол сами являются фазовыми траекториями и при линейном преобразовании останутся прямыми. Их отображение на плоскость примет вид . Подставив это соотношение в (1.25), получим

или

откуда находим два значения и . Это дает две пря­молинейные фазовые траектории (рис.1.34). На рис. 1.34 дано расположение также и остальных (криво­линейных) фазовых траекторий. Аналогичная картина изображена и

на рис.1.35 для особой точки типа «седло». По какой из фазовых траекторий пойдет переходный про­цесс в системе, определяется начальными условиями , , которые дают

Рис.1.34. Расположение

фазовых траекторий

нам координаты начальной точки М₀ (рис. 1.34).

Для уточнения такой качественной картины фазовых траекторий можно применить метод изоклин. Изоклиной называется линия, соединяющая точки фазовых траекто­рий с одинаковым наклоном касательной, т. е. для каж­дой изоклины . Поэтому уравнение изоклины, согласно (1.25), имеет вид

(1.29)

Следовательно, любая прямая будет изоклиной с соответствующим значением постоянной с. Задаваясь определенной величиной (рис. 1.35), согласно (1.29) находим

Нанеся несколько изоклин и зная для каждой из них крутизну наклона «с» пересекающих ее фазовых траекто­рий, можно уточнить всю картину фазовых траекторий.

Рис.1.35. Нахождение величины с

Случай равных вещественных корней: . В этом случае получается вырожденный узел, устойчивый при и неустойчивый при (фазовые траекто­рии показаны в координатах , на рис.1.36,а, б).

а) б)

Рис.1.36. Случай равных

вещественных корней

Случай комплексных корней .Переходный про­цесс — колебательный. Пусть

(1.30)

Решения (1.7) принимают комплексный вид

Введя новые переменные с помощью подстановки

преобразуем решение к вещественной форме

где А и γ— произвольные постоянные. Перейдем к полярным координатам(r,φ). Тогда

(1.31)

Откуда , где k = 0, ± 1, ± 2,….

Эти выражения описывают логарифмическую спираль, изображенную на рис.1.37,а для случая и на рис. 1.37, б для .

а) б)

Рис.1.37. Случай комплексных корней

В случае комплексных корней с отрицательной ве­щественной частью (рис. 1.37,а) особая точка 0 называ­ется точкой типа «устойчивый фокус».

В случае комплексных корней с положительной ве­щественной частью (рис. 1.37, б) особая точка 0 называ­ется точкой типа «неустойчивый фокус».

Для преобразования полученных фазовых портретов в исходную систему координат ( , ) воспользуемся методом изоклин. Пусть, например, задана система

(1.32)

Корни характеристического уравнения .

Обозначив , , приведем систему к виду

(1.33)

Дифференциальное уравнение фазовых траекторий

(1.34)

Для изоклины х₂ = k_иx₁.Отсюда находим

Возьмем четыре значения: k_и = 0, 1, ∞, — 1,

тогда с = - ∞, —7, —2, 3.

Соответствующие направления касательных к фазовым траекториям показаны на рис. 1.38 стрелками. Ориентируясь по ним, вычерчиваем фазовые траектории. Одна из них изображена на рис. 1.38.

Рис.1.38. Фазовая траектория

Как частный случай (1.30), при , т. е. для чисто мнимых корней , из (1.31) в полярных координатах на плоскости (z₁, z₂) получаем . Фазовые траектории имеют вид окружностей (рис.1.39). При переходе к исходным координатам (х₁, х₂) получатся эллипсовидные

Рис.1.39. Фазовые траектории Рис.1.40. Эллипсовидные

в виде окружностей замкнутые кривые

замкнутые кривые (рис. 1.40). Это соответствует периодическим во времени процессам. В случае чисто мнимых корней особая точка 0 (рис. 1.39 и 1.40) называется точкой типа «центр».