1.2. Преобразования нелинейных статических характеристик

Поскольку нелинейности в системах чаще всего учи­тываются в виде статических характеристик, то целесо­образно рассмотреть методы их преобразования. Такие преобразования обычно выполняют с целью объединения смежных нелинейных звеньев для упрощения проводи­мых исследований. Смежные звенья с нелинейными ста­тическими характеристиками могут встречаться в схе­мах в виде последовательного соединения, согласно-па­раллельного соединения и встречно-параллельного сое­динения или обратной связи (рис.1.17).

При последовательном соеди­нении двух звеньев с нелинейны­ми статическими характеристи­ками (рис. 1.17,а) для резуль­тирующей характеристики можно записать

(1.1)

Это означает, что результирую­щая характеристика может быть получена как нелинейная функ­ция от выражения, стоящего в квадратных скобках, которое само является нелинейной функ­цией:

(1.2)

а) б) в)

Рис. 1.17. Смежные звенья с нелинейными

ста­тическими характеристиками

Предположим, что первое звено имеет нелинейную статическую характеристику

а второе звено — статическую характеристику

Тогда результирующая характеристика будет

Если последовательно соединенные нелинейности за­даны графически, то результирующая характеристика легко определяется графическим способом.

В качестве примера рассмотрим графическое построе­ние результирующей характеристики двух последовательно соединенных звеньев с нелинейными статиче­скими характеристиками и (рис. 1.18).

Ветвь первой характеристики строим, как обычно, в первом квадранте, а ветвь второй характеристики — во втором квадранте, принимая за ось абсцисс ось ординат первой характеристики. Ин­тервал графического реше­ния для переменной x₁ выбираем таким, чтобы n ди­скретных значений перемен­ных с достаточной точностью определяли исходные и иско­мую статические характе­ристики. Затем для каждого дискретного значения x_1i на­ходим точки ветви резуль­тирующей характеристики .

Рис.1.18. Графическое

решение для некоторого

значения

На рис. 1.18 показан по­рядок графического решения для некоторого значения . Из точки соответствующей восстанавливаем перпендикуляр и определяем значе­ние на характеристике . Значение переносим (как показано стрелкой) на характеристику и, опустив пер­пендикуляр на ось абсцисс, получаем значение . Это значение переносим на перпендикуляр, восстанов­ленный из точки, соответствующей . Проделав такое построение для n значений, получим n точек, принадле­жащих одной ветви статической характеристики . Вторая ветвь функции строится как кривая, сим­метричная первой ветви относительно начала коор­динат.

При согласно-параллельном включении звеньев с не­линейными статическими характеристиками (рис. 1.17, б) можно записать

(1.3)

Получение результирующей статической характеристики здесь сводится к сложению статических характеристик отдельных звеньев и не представляет никакого затрудне­ния как при аналитическом, так и графическом задании нелинейностей.

В случае встречно-параллельного соединения нели­нейных звеньев (рис. 1.17, в) можно записать

где знак «+» соответствует положительной обратной связи, а знак «—» — отрицательной. Так как

то получим

Разрешая последнее выражение относительно аргумента, имеем

где — функция, обратная . Полученное выражение можно записать в виде

(1.4)

где — результирующая функция, учитывающая сигналы прямой цепи и цепи обратной связи.

Искомая результирующая статическая характеристи­ка контура будет функцией, обратной .

Как видно из (1.4), для получения результирующей статической характеристики нелинейного звена с нели­нейной обратной связью следует найти функцию , обратную функции основного звена, вычесть (для положительной) или прибавить (для отрицательной обратной связи) нелинейную функцию обратной связи , а затем найти обратную функцию полученной суммарной функции .

Пусть, например, имеем встречно-параллельное соединение двух звеньев с нелинейностями, заданными аналитически (рис. 1.19).

Рис.1.19. Встречно-параллельное

соединение двух звеньев

Согласно (1.4) запишем выра­жение входной величины системы с отрицательной обрат­ной связью

Разрешая полученное выражение относительно , полу­чим результирующую статическую характеристику

Если уравнение (1.4) трудно разрешимо относи­тельно , то можно не находить аналитического выра­жения результирующей статической характеристики, а, задаваясь значениями , определять и строить харак­теристику графически.

Таким же образом к одному звену можно приводить нелинейное звено, охваченное жесткой линейной связью, или линейное звено, охваченное жесткой нелинейной связью.

При графическом задании исходных нелинейных ста­тических характеристик в случае встречно-параллельно­го соединения нелинейных звеньев построение результи­рующей характеристики эквивалентного звена согласно (1.4) может быть выполнено в следующем порядке. В координатных осях ( , ) строится, как обычно, харак­теристика основного звена . Затем строится харак­теристика звена обратной связи, для которой перемен­ная , откладываемая на оси ординат, является аргу­ментом, а является функцией . Сложив значе­ния указанных характеристик в дискретных точках, получим результирующую характеристику для отрица­тельной обратной связи. Для положительной обратной связи из значений на характеристике следует вычесть значения характеристики обратной связи .

Полученная характеристика и будет эквивалентной результирующей

В качестве примера рассмотрим получение результи­рующей характеристики для основного звена, имеющего статическую характеристику с зоной нечувствительности при линейном продолжении (рис. 1.20, а), и звена об­ратной связи, имеющего характеристику с ограничением.

а) б) в)

Рис.1.20. Получение результи­рующей

характеристики для основного звена

Характеристику основного звена строим, как обыч­но, на координатной плоскости ( , ) (рис. 1.20, б), принимая за переменную х. Характеристику строим в зависимости от своего аргумента . Сложив значения для построенных характеристик, получим результирующую характеристику для случая отрица­тельной обратной связи. Вычтя значения для из значений для получим характеристику для поло­жительной обратной связи (пунктирная ломаная).

Интересно отметить, что полученная результирующая характеристика при положительной обратной связи в интервале имеет двузначность, а в точках и будет иметь место релейный эф­фект. Практически эквивалентная статическая характе­ристика будет релейной с линейным продолжением (рис. 1.20, в).