6.3. Процессы управления в автоколебательных системах

Автоколебательные системы довольно часто встреча­ются среди систем автоматического управления и регу­лирования, в том числе системы с характеристиками релейного типа. Будем считать, что частота автоколеба­ний в рассматриваемых системах лежит много выше спектра возможных частот процесса управления. Поэтому будем искать решение для переменной х на входе нелинейности (рис. 6.1) в виде

(6.29)

где ;

—медленная переменная по сравнению с .

Уравнение динамики системы (рис. 6.1) имеет вид (6.2) в которой f(t) — медленная функция времени (по сравнению с ). Гармоническую линеаризацию нелинейности произве­дем в предположении, что не успевает заметно изме­ниться за период автоколебаний. Тогда, согласно (4.15),

(6.30)

Подставив (6.30) в уравнение системы (6.2), разобьем последнее, как и прежде, на два. Уравнение для медлен­ных составляющих (т. е. для процесса управления) полу­чит вид

(6.31)

Уравнение для периодических составляющих запишется в виде

(6.32)

Три неизвестных функции , α и ω в искомом решении (6.29) определяются совместным решением уравнений (6.31) и (6.32). Поскольку эти функции вза­имосвязаны, причем (процесс управления) меняется во времени, то амплитуда α и частота ω автоколебаний тоже будут медленно меняться во времени в процессе уп­равления.

Если путем решения уравне­ния (6.32) найти зависимость и подставить ее в выражение , полученное по формуле (4.16), то найдем новую нелинейную функцию, которая оказывается плавной кривой (рис. 6.8) для лю­бых нелинейностей. Применяя к этой функции всю прежнюю процедуру обычной линеаризации (6.17), (6.18), получим

(6.33)

Для конкретных нелинейностей здесь будут справед­ливы прежние формулы (6.20) — (6.24) и графики (рис. 6.9 — 6.12), в которых, однако, в отличие от преж­него, величина является амплитудой симметричных автоколебаний, определяемой для данной системы со­гласно разделов 4.3 или 4.4.

Таким образом, для нахождения коэффициента усиле­ния нелинейности в процессе управления k_H в автоколе­бательной системе нет необходимости искать зависимость и строить новую нелинейную функцию , а требуется знать лишь амплитуду симметричных авто­колебаний . В результате уравнение динамики процес­са управления в автоколебательной системе вместо нели­нейного (6.31) будет линейным:

(6.34)

Однако коэффициент k_H обладает особыми свойства­ми. Он, согласно (6.20) — (6.24), зависит от амплитуды , а эта последняя, согласно раздела 4.3, определяется через параметры всей системы. Следовательно, k_H зависит так­же и от структуры и параметров линейной части системы, т. е.

(6.35)

Эту особенность надо учитывать при синтезе системы с использованием линейной теории, а также при исследо­вании устойчивости и качества процессов управления.

Для определения амплитуды и частоты автоколеба­ний, которые накладываются на процесс управления, надо использовать уравнение (6.32) Оно полностью сов­падает с уравнением (4.65) для несимметричных автоко­лебаний. Решается это уравнение в общем случае под­становкой в характеристическое уравнение

после выполнения подстановки и выделения веществен­ной и мнимой частей получим два уравнения:

(6.36)

Отсюда определяются зависимости , причем —процесс управления, определяемый дифференци­альным уравнением (6.34).

В случае, если нелинейность F(х) является однознач­ной, это решение упрощается, так как частота автоколе­баний ω в этом случае не зависит от величины и от формы нелинейности. Эта частота постоянна в процессе управления и определяется отдельно из уравнения (4.67):

(6.37)

а зависимость определяется также отдельно из вы­ражения

(6.38)

куда подставляется значение ω, найденное из (6.37).

Пример 6.4. Рассмотрим систему с идеальной релейной характеристикой, схема которой приведена на рис. 6.16.

Рис.6.16.Система с идеальной релейной

характеристикой

Заданы: передаточные функции ,

;

Вид нелинейности: - идеальная релейная характеристика;

- коэффициент жесткой обратной связи.

Общее уравнение динамики системы относительно переменной х запишется в виде

Для подстановки в уравнение (6.38) здесь имеем

,

,

Поэтому, согласно (6.37), получаем значение частоты автоколебаний

(6.39)

Гармоническая линеаризация нелинейности дает

где, согласно (4.33),

(6.40)

Коэффициент усиления нелинейности в процессе управ­ления , согласно (6.20), вычисляется в виде

,

где — амплитуда симметричных автоколебаний в дан­ной системе.

Из формул (6.38) и (6.40) при получаем

откуда с подстановкой (6.39) находим

(6.41)

Следовательно,

(6.42)

Итак, общее уравнение динамики системы относи­тельно переменной х для процесса управления принима­ет вид

где коэффициент выражается через другие параметры системы формулой (6.42). Дальше эту систему можно рассчитывать как обыкновенную линейную, определяя устойчивость и качество процесса управления с соответ­ствующим выбором параметров, учитывая выражение для (6.42). Здесь нужно еще иметь в виду ограничен­ность возможного интервала линеаризации процесса уп­равления, так как из (6.40), например, следует требова­ние . Отсюда вытекают требования на соотношение параметров системы в соответствии с формулой для ам­плитуды (6.41).

Для того чтобы определить амплитуду автоколебаний, наложенных на процесс управления, надо воспользовать­ся формулой (6.38), которая с подстановкой ω (6.39) и q (6.40) дает

откуда определяется зависимость в процессе управ­ления.

Рассмотрим и здесь те же две специфические частные задачи, которые рассматривались выше при вынужден­ных вибрациях.

3. Вибрационное сглаживание и вибрационная линеаризация нелинейности при помощи автоколебаний. Мы видели, что за счет автоколебательных вибраций в автоматической системе любая нелинейная характеристи­ка, в том числе скачкообразная и гистерезисная, стано­вится плавной кривой как и прежде (рис. 6.8). Это и называется вибрационным сглаживанием нелиней­ности, а замена — вибрационной линеариза­цией нелинейности для сигнала управления при помощи автоколебаний.

Для реализации этого свойства в системе вокруг не­линейного звена организуется внутренний автоколеба­тельный контур (рис. 6.17).

Параметры его выбираются так, чтобы частота автоколебаний была достаточно высо­кой и не пропускалась остальными звеньями системы (за пределами этого контура) и чтобы амплитуда автоко­лебаний была не меньше возможных значений медленной составляющей на входе нелинейности х (рис. 6.17).

Далее вычисляется амплитуда симметричных (т. е. при ) автоколебаний этого контура, взятого от­дельно. Затем через величину α _с определяется значение для данной

Рис. 6.17. Система с внутренним автоколеба­тельным

контуром

нелинейности. После этого процесс управ­ления во всей системе в целом исследуется и рассчитыва­ется как в чисто линейной с заменой нелинейности F(x) на .

4. Влияние автоколебательных вибрационных помех на устойчивость и качество процесса управления. Наряду со специальным использованием автоколебаний, изложенным в задаче 1, могут быть случаи их вредного влияния вплоть до нарушения устойчивости процесса управления. Это влияние совершенно аналогично дей­ствию внешних вибрационных помех (раздел 6.2).

Обратимся к той же задаче учета упругих вибраций корпуса самолета в полете, как и при исследовании виб­рационной помехоустойчивости в предыдущем разделе. Там эти вибрации считались поступающими на гироскоп извне. Строго же говоря, они имеют место внутри систе­мы, как показано на рис. 6.18, а, где автопилот и само­лет составляют прежний контур управления, в котором рассматривается движение самолета как твердого тела. Но теперь параллельно ему подключен еще контур упру­гих колебаний корпуса с уравнением

(6.43)

где — угол отклонения при изгибе оси самолета в точке установки гироскопа. Изгибные вибрации при таком рассмотрении являются автоколебательными.

Чтобы определить коэффициент усиления нелиней­ности F(x) автопилота в процессе управления, нужно найти сначала амплитуду симметричных изгибных колебаний . Поскольку они не проходят через звено «само­лет как твердое тело», то

Рис. 6.18,а. Система с Рис.6.18,б. Расчет

автопилотом автоколебаний в

отдельном контуре

для определения рассчиты­ваются автоколебания в отдельном контуре (рис. 6.18, б). Затем полученное значение используется при опреде­лении , после чего система самолет — автопилот исследуется как линейная с учетом выражения че­рез другие параметры системы (см. пример, приводив­шийся выше). Заметим, что поскольку коэффициент демпфирования в уравнении (6.43) мал, то частота авто­колебаний будет близка к значению с в уравнении (6.43). Это и давало возможность рассматривать в пре­дыдущем разделе прохождение автоколебаний через автопилот как прохождение вынужденных колебаний с заданной извне частотой.