5.6. Контрольные вопросы к главе 5

1. Какие существуют типы движений?

2. Какая функция называется знакоопределенной (знакопостоянной, знакопеременной)?

3. Какая функция называется функцией Ляпунова?

4. Как может быть определена граница устойчивости?

5. Как найти границы устойчивости?

6. Чем определяется область абсолютной устойчивости?

7. Можно ли исследовать нелинейную систему методом гармонической линеаризации с помощью критерия Михайлова?

8. Как может располагаться нелинейная характеристика?

9. Какие условия устойчивости (необходимые или достаточные) дает критерий В. М. Попова?

10.Используется ли в критерии В. М. Попова частотная характеристика линейной части системы?

6. Процессы управления и вынужденные колебания в нелинейных системах

6.1. Одночастотные вынужденные колебания. Частотные характеристики

Исследование вынужденных колебаний нелинейных систем представляет собой в общем сложную задачу в связи с отсутствием суперпозиции отдельных решений, а также существенным изменением поведения системы в зависимости от размера амплитуды колебаний, с нали­чием не единственного установившегося режима и воз­можностью перескоков с одного режима на другой, с осо­бенностями высших гармоник, субгармоник, комбина­ционных частот и с многими другими факторами.

В данном разделе мы рассмотрим случай одночастотной системы с частотой внеш­него периодического воздействия, и найдем условия их существо­вания.

Рассмотрим нелинейную систе­му с внешним воздействием (рис. 4.27), заданным в виде

(6.1)

Уравнение динамики системы имеет вид

(6.2)

Решение для вынужденных колебаний будем искать при­ближенно в форме

(6.3)

где ω задано, а неизвестными являются амплитуда α и фаза φ.

Произведем гармоническую линеаризацию нелиней­ности:

(6.4)

где коэффициенты и вычисляются для сим­метричных (нечетных) нелинейностей по прежним формулам (4.11), если в них положить . Для конкретных нелинейностей можно здесь использовать формулы, полученные в разделе 4.2.

Подставим (6.1), (6.3) и (6.4) в уравнение систе­мы (6.2):

(6.5)

Используем символический метод определения периоди­ческого решения, подставив сюда , а вместо выражение . Тогда полу­чим

или

(6.6)

где

(6.7)

Уравнение (6.6) с двумя неизвестными α и φ можно решить графически, как показано на рис. 6.2. Правая часть (6.6) изображается в виде окружности радиуса B, а левая часть строится как кривая по точкам с пе­ременным параметром α. Точки пересечения окружности с кривой дают решение, причем величина ампли­туды вынужденных колебаний определяется в точке пересечения по отметкам на кривой Z, а фаза — по вели­чине угла (рис. 6.2).

Рис.6.2. Графическое

решение уравнения (6.6)

На рис. 6.2 окружности пересекают кривую только при радиусе, большем некоторого порогового значения . Следовательно, в этом случае одночастотные вынужденные колебания (6.3) возможны только при достаточно большой амплитуде В, а при меньшей ампли­туде В внешнего воздействия будет иметь место сложное движение, включающее в себя и собственную частоту системы.

Построив серию кривых по формуле (6.7) для разных значений частоты внешнего воздействия ω (рис. 6.3), можем построить график зависимости поро­гового значения В от частоты ω, например, в виде, изоб­раженном на рис. 6.4, где ω_α - частота автоколебаний данной системы. Тогда мы получим область значений В и ω, в которой существуют одночастотные вынужденные колебания. Эта область называется областью захватыва­ния. Явление захватывания состоит в том, что при собственные колебания (автоколебания) срывают­ся и система переходит целиком на одночастотные вынужденные колебания с частотой внешнего воздействия. Строго говоря, эти одночастотные вынужденные колебания будут несинусоидальными. В соответствии со свойством фильтра линейной части (раздел 4.1) они для перемен­ной х будут только близки к синусоидальным (6.3).

На основании рис. 6.3 можно построить зависимости α(ω) и φ(ω), т. е. частотные характеристики замкнутой нелинейной системы по первой гармонике (6.3). В ли­нейных системах частотные характеристики А (ω) и φ(ω) не зависели от размера входной амплитуды и вычисля­лись для единичной амплитуды на входе. В нелинейной же системе характер частотных характеристик и φ(ω) может существенно зависеть от раз­мера B. Поэтому для разных значений В получается се­рия частотных характеристик (рис. 6.5) замкнутой сис­темы по первой гармонике.

Рис. 6.3. Серия кривых Рис. 6.4. Зависимость

для разных значений поро­гового значения В

частоты внешнего от частоты ω

воздействия

Рис.6.5. Частотные

характеристики для

разных значений В

Пример.6.1. Пусть уравнение системы имеет вид

при гистерезисной нелинейности (рис. 6.6) и . Тогда в уравнении (6.6), согласно (6.7), бу­дем иметь

Для заданной частоты и заданных пара­метров системы , , , , , кривая изображена на рис. 6.6, где отмечены значения α. Проведя окружности разных радиу­сов В, по точкам пересечения определим зависимости и (рис. 6.7) для вынужденных колебаний при данной частоте.

Рис. 6.6.Построение Рис.6.7. Определение

кривой зависимостей и