5.3.3. Асимптотическая устойчивость в целом.

Можно предположить, что найдутся системы, для которых окрестностью асимптотически устойчивого начала координат является все пространство состояний (т.е. ). В этом случае точка равновесия системы единственна и говорят об асимпто­тической устойчивости системы в целом. В таких системах траектории всех возму­щенных движений заканчиваются в начале координат.

Теорема. Автономная система асимптотически устойчива в целом, если:

1 - начало координат асимптотически устойчиво,

т.е. при ; и ; при ;

2 - при для всех .

Итак, требования асимптотической устойчивости системы в целом предполагают воз­можность построения функции Ляпунова, неограниченно возрастающей при отклонении от нуля и увеличении его в любом направлении.

Пример 5.1. Исследуем систему управления курсом самолета (рис. 5.7).

Рис.5.7. Система управления курсом самолета

Уравнение движения само­лета в упрощенном виде имеет вид

(5.13)

где ψ— угол отклонения оси самолета по курсу,δ — угол отклонения руля, —нелинейная характеристи­ка привода руля (рис. 5.8, а), причем ,

при

при (5.14)

при

Измерительно-усилительное устройство с обратной связью привода описывается выражением

(5.15)

Для перехода к каноническим уравнениям предста­вим уравнение самолета (5.13) в виде

и обозначим

(5.16)

В связи с последним обозначением нелинейная характе­ристика заменится на (рис. 5.8,б), где изменится лишь масштаб по оси абсцисс. Поэтому зона нечувствительности вместо b (рис. 5.8,а) будет иметь размер .

а) б)

Рис.5.8. Нелинейные характе­ристики и

Введем безразмерное время . Тогда система уравнений (5.13), (5.15) преобразуется к каноническому виду

(5.17)

где

(5.18)

Как видно из уравнений (5.13) — (5.16), установившийся режим полета, устойчи­вость которого надо исследо­вать, определяется значениями , , , что иллюстрируется отрезком АВ на рис. 5.9.

Рассмотрим отдельно два случая и .

1. Случай . Функция Ляпунова берется в виде

(5.19)

Производная от нее

Рис. 5.9. Иллюстрация

установившегося режима

полета

или в силу уравнений системы (5.17) после простых преобразований имеем

Функция V(x) (5.19) является положительно опре­деленной. Производная же V(х) от нее будет отрица­тельной знакопостоянной при условии

, если (5.20)

Это и является, следовательно, условием устойчивости системы согласно теореме Ляпунова.

Заметим, что обращается в нуль, ког­да и при любом значении x₂, т. е. на всей полосе, изображенной на рис. 5.10.

Рис.5.10. Полоса любых

значений x₂

Поэтому инте­ресно проверить, не застрянет ли изображающая точка на этой полосе, если фазовая траектория попадет туда. Из уравнений (5.17) на этой полосе имеем

Следовательно, фазовая траектория будет проходить че­рез полосу в направлении, параллельном оси x₃, как по­казано на рис. 5.10, и не застрянет на ней.

2. Случай . Функция Ляпунова берется в виде

Производная от нее в силу уравнений системы (5.17):

Отсюда условие устойчивости системы, как условие от­рицательного знакопостоянства функции W(х), прини­мает вид

, если (5.21)

В соответствии с обозначениями (5.19) через исход­ные параметры системы условия устойчивости (5.20) и (5.21) запишутся в виде соответственно

, если (5.22)

, если

что графически изображено на рис. 5.11, а. Этот резуль­тат физически понятен: коэффициент дополнительной обратной связи k_ос должен быть достаточно большим, если коэффициент интенсивности введения производной от ошибки k_pψ взят сравнительно малым. Устойчивость системы не зависит от величины коэффициента обрат­ной связи, если производная введена с достаточно боль­шим коэффициентом.

Согласно (5.21) имеем (при положительных коэффи­циентах)

т. е. основной коэффициент усиления автопилота k_ψ мож­но увеличить за счет усиления обоих стабилизирующих средств: k_ос и k_pψ, что показано графически на рис. 5.11, б.

а) б)

Рис.5.11. Условия устойчивости системы

Поскольку в условия устойчивости нелинейной систе­мы (5.21) не вошли параметры самой нелинейности, они являются условиями абсолютной устойчивости системы при любой форме однозначной нелинейности, удовлетво­ряющей лишь условию (5.14).