5.3.1. Функция Ляпунова и ее производная по времени.

Любую дифференцируемую по всем аргументам функцию

(5.7)

тождественно обращающуюся в нуль при , будем называть функцией Ляпунова, если в ней в качестве величин взяты те отклонения переменных системы регулирования в переходном процессе

. . . .

в которых записываются уравнения (5.6) для этой системы. Производная от функции Ляпунова (5.7) по времени будет

Подставив сюда значения заданных уравнений системы регулирования в общем случае (5.6), получим производную от функции Ляпунова по времени в виде

(5.8)

где — правые части уравнений (5.6) системы

автомати­ческого регулирования, представляющие собой

заданные функции от откло­нений .

Следовательно, производная от функции Ляпунова по времени, так же как и сама V, является некоторой функцией отклонений, т. е.

(5.9)

причем эта функция W, так же как и сама V,. тождественно обращается в нуль при . Поэтому к ней в одинаковой степени можно применять все те же понятия знакоопре­деленности, знакопостоянства и знакопеременности в некоторой области вокруг начала координат, о которых говорилось выше по отношению к функции V.

Здесь шла речь только об уравнениях (нелинейных), в которые не входит в явном виде время t, так как только этот случай будет рассматриваться в дальнейшем. Вообще же метод Ляпунова может применяться и при наличии времени t в явном виде, в частности для уравнений с переменными коэффи­циентами (линейных и нелинейных).

Базируясь на этих предварительных сведениях, дадим общую формули­ровку теорем Ляпунова. Теоремы эти годятся для исследования устойчивости систем регулирования не только при малых, но и при больших отклонениях, если для них справедливы исходные уравнения данной системы регулирования. Устойчивость системы при любых больших начальных отклонениях называется коротко устойчивостью в целом.

5.3.2. Теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем.

Теорема Ляпунова. Если для системы в области , , сущест­вует скалярная, дифференцируемая функция состояний системы V(x), такая что:

при ,

при ,

и если при , то система при имеет устойчивую точку равновесия,

если при , то система при имеет асимптотически-устойчивую точку равновесия.

Замечание 1. Теорема Ляпунова дает лишь достаточные условия устойчивости точки равновесия.

Замечание 2.

.

Замечание 3. Функцию , удовлетворяющую условиям приведенной теоремы, назы­вают функцией Ляпунова.

- определенная (положительная или отрицательная) в окрестности начала коорди­нат, если она непрерывна, обладает непрерывными первыми производными и имеет в этой окрестности одинаковый знак за исключением точки , где она обращается в ноль.

Проиллюстрируем справедливость этой теоремы на наглядных гео­метрических образах. Для простоты возьмем систему третьего порядка ( ). Уравнения (5.6) для нее в общем виде будут

(5.10)

Возьмем знакоопределенную положительную функцию Ляпунова в виде

(5.11)

где а, b, с — произвольно заданные вещественные числа. Будем придавать величине V возрастающие постоянные значения: , С₁, С₂, С₃, . . ., что означает

……………………

Первое из этих выражений соответствует одной точке (началу координат фазового пространства), а остальные — поверхностям эллипсоидов в фазовом пространстве, причем каждый последующий эллип­соид содержит внутри себя целиком предыдущий (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Расположение

эллипсоидов

Возьмем теперь производную от функции Ляпунова по времени. Соглас­но (5.8) и (5.11) имеем:

,

где функции берутся из заданных уравнений системы регулиро­вания (5.11).

Если полученная таким путем функция окажется знакоопределенной отрицательной, т.е. если

(5.12)

во всех точках исследуемого фазового пространства, кроме одного только начала координат, где

при ,

то при любых начальных условиях изображающая точка М (рис. 5.6) вследствие (5.12) будет двигаться в сторону уменьшения значения V, т. е. будет пересекать эллипсоиды, изображенные на рис. 5.6, извне внутрь. В результате с течением времени изображающая точка М будет стремиться к началу координат фазового пространства и уже никак не сможет выйти за пределы тех эллипсоидов, в которые она проникла.

Это и означает затухание всех отклонений х₁, х₂, х₃ в переходном про­цессе с течением времени. Таким образом, установлена устойчивость данной системы регулирования, что иллюстрирует справедливость теоремы для системы третьего порядка (в случае знакоопределенной функции W).

Отсюда вытекает справедливость теоремы и в общем случае. Рассужде­ния остаются аналогичными, только вместо трех уравнений (5.10) будет n уравнений (5.6). Как и раньше, для любой знакоопределенной положительной функции Ляпунова получим некоторые замкнутые поверхности, окружающие начало координат (рис. 5.6), но уже не в обычном трехмерном, а в n-мерном фазовом пространстве (их иногда называют гиперповерхностями). Поэтому, если производная окажется знакоопределенной отрицательной, то траектория изображающей точки М в n-мерном пространстве при любых начальных условиях с те­чением времени будет пересекать указанные поверхности только извне внутрь, что и свиде­тельствует об устойчивости данной системы.

Если же функция W будет не знакоопределенной, а знакопостоянной, то очевидно, что траектория изображающей точки М не везде будет пересекать поверхности , а может их касаться в тех точках, где W обращается в нуль (помимо начала координат). Но так как во всех других местах фазового пространства функция W имеет один и тот же знак, вследствие чего изображающая точка может идти только извне внутрь поверхности , то при решении задачи остается только проверить, не «застрянет» ли изображающая точка там, где .

По поводу сформули­рованной теоремы Ляпунова об устойчивости системы необходимо сделать следующие два важных замечания.

1. В теореме речь идет о подборе функции Ляпунова . Вообще говоря, при заданных в форме (5.6) уравнениях системы регулиро­вания можно подобрать несколько различных вариантов функции V, посколь­ку требуется только знакоопределенность ее и ее производной. Различные варианты функции V, удовлетворяющие теореме, могут дать соответственно различные варианты условий устойчивости для одной и той же системы регу­лирования. При этом одни из них будут шире, другие уже, последние могут входить в первые, как частный случай и т. д.

Поэтому, данная теорема Ляпунова обеспечивает полу­чение достаточных условий устойчивости, которые не всегда будут и необ­ходимыми, т. е. при выполнении условий теоремы система наверняка будет устойчивой, но эти условия могут не охватывать всей области устойчивости системы по параметрам. В самом деле, если выбрана функция V, удовлетво­ряющая теореме, нет уверенности в том, что нельзя подобрать другой вариант функции V, который бы еще более полно охватывал область устойчивости данной системы.

Геометрически это значит, что, получив определенное семейство поверх­ностей (рис. 5.5) и убедившись, что траектории изображающей точки М приближаются к началу координат, пересекая эти поверхности извне внутрь, нельзя быть уверенным в том, что не существует еще других вариантов траекторий изображающей точки М, которые в отдельных местах могут пересекать данные поверхности изнутри вовне, но все же с течением времени в конце концов неограниченно приближаться к началу координат. Такие траектории будут соответствовать другому семейству поверхностей , т. е. другому варианту выбора функции Ляпунова.

В ряде технических задач можно вполне удовлетвориться этими доста­точными условиями устойчивости. От более или менее удачного подбора функции Ляпунова V будет зависеть большая или меньшая близость полу­ченных достаточных условий устойчивости к необходимым и достаточным, т. е. более или менее полный охват всей области устойчивости данной системы. Существуют, конечно, и такие функции , которые соответствуют всей области устойчивости.

2. К сформулированной выше теореме Ляпунова необходимо добавить, что понятие устойчивости по Ляпунову допускает, чтобы при знакоопределенной функции V производная от нее W была не обязательно знакоопределенной или знакопостоянной, а могла быть и тождественно равна нулю во всем рас­сматриваемом фазовом пространстве. В этом случае, проводя аналогичные прежним рассуждения, легко убедиться, что изображающая точка М (рис. 5.6) будет оставаться все время на какой-нибудь одной из поверх­ностей , куда ее забросили начальные условия. В результате система хотя и не будет асимптотически приближаться к установившемуся состоянию, но все же будет все время в достаточной близости от него.

3.Значение функции Ляпунова есть некоторое обобщенное расстояние изображающей точки на траектории от начала координат (точки равновесия). Убывание этого расстояния со временем служит гарантией приближения к точке равновесия. Если, в конце концов, это расстояние станет равным нулю, это означает возвращение траектории движения системы в точку равновесия. Точка равновесия при этом асимптотически устой­чива. Если мгновенные возмущения системы при не увеличивают расстояние со временем, такая система имеет в нуле устойчивую точку равновесия. Если же в окре­стности нуля найдется область, в которой , т. е. расстояние увеличивается со временем, и при некотором , это означает неустойчивость точки равновесия.