4.4. Частотный способ определения симметричных автоколебаний

Базируясь на свойстве фильтра нижних частот линейной части си­стемы (раздел 4.1), ищем периодическое решение нелинейной системы (рис. 4.2). Воздействие на входе нелинейного элемента, при­ближенно, имеет вид (4.37) с неизвестными α и ω. Задана форма нелинейности и передаточная функция линейной части (4.5).

Производится гармоническая линеаризация нелинейности (4.21), что приводит к передаточной функции

Передаточная функция разом­кнутой цепи системы получает вид

Периодическое решение линеаризованной системы (4.36) получается при наличии в характеристическом уравнении замкнутой системы пары чисто мнимых корней.

А это по критерию Найквиста соответствует прохождению через точку -1. Следо­вательно, периодическое реше­ние (4.36) определяется равен­ством

или

(4.51)

где вычисляется по формуле (4.13).

Уравнение (4.13) определяет искомые амплитуду α и частоту ω периодического решения. Это уравнение ре­шается графически следующим образом. На комплексной плоскости (U, jV) вычерчивается амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части (рис. 4.21), а также обратная амплитудно-фазовая ха­рактеристика нелинейности с обратным знаком .

Рис.4.21. АФЧХ линейной и

нелинейной частей

Точка В их пересечения (рис. 4.21) и определяет величи­ны α и ω, причем значение а отсчитывается по кривой , а значение ω — по кривой .

Вместо этого можно пользоваться двумя скалярными уравнениями, вытекающими из (4.13) и (4.51):

(4.52)

, (4.53)

которые также определяют две искомые величины α и ω.

Последними двумя уравнениями удобнее пользоваться в логарифмическом масштабе, привлекая логарифмические частотные характери­стики линейной части. Тогда вместо (4.51) и (4.13) будем иметь следующие два урав­нения:

(4.54)

(4.55)

На рис. 4.22 слева изображены графики левых частей уравнений (4.54) и (4.55), а справа — правых частей этих уравнений. При этом по оси абсцисс слева часто­та ω откладывается, как обычно, в логарифмическим масштабе, а справа — амплитуда а в натуральном масш­табе.

Рис. 4.22. Графики левых и правых

частей уравнений (4.54) и (4.55)

Решением этих уравнений будут такие значения α и ω, чтобы при них одновременно соблюдались оба ра­венства: (4.52) и (4.53).

Такое решение показано на рис. 4.22 тонкими линиями в виде прямоугольника.

Очевидно, что сразу угадать это решение не удастся. Поэтому делаются попытки, показанные штриховыми ли­ниями. Последние точки этих пробных прямоугольников М и М₁ не попадают на фазовую характеристику нели­нейности. Но если они расположены по обе стороны ха­рактеристики, как на рис. 4.22, то решение находится интерполяцией — путем проведения прямой ММ₁.

Нахождение периодического решения упрощается в случае однозначной нелинейности F(x). Тогда и уравнения (4.53) и (4.54) принимают вид

(4.56)

Решение показано на рис. 4.23.

После определения периодического решения надо ис­следовать его устойчивость. Периодическое решение имеет место в случае, когда амплитуд­но-фазовая характеристика разомкнутой цепи

Рис.4.23. Нахождение

периодического решения

проходит через точку —1. Дадим амплитуде отклонение . Система будет возвращаться к периодическому ре­шению, если при колебания затухают, а при — расходятся. Следовательно, при характеристика дол­жна деформироваться (рис. 4.24) так, чтобы при критерий

Рис.4.24. Деформация

характеристики

устойчивости Найквиста соблюдался, а при — нарушался.

Итак требуется, что­бы на данной часто­те ω было

при

или

Отсюда следует, что на рис. 4.21 положительный отсчет амплитуды α вдоль кривой должен быть на­правлен изнутри вовне через кривую , как там и показано стрелкой. В противном случае периодическое решение неустойчиво.

Пример 4.13. Пусть в следящей системе (рис. 4.13) усилитель имеет релейную характеристику (рис. 1.3). На рис. 4.17 для нее показан график коэффициента гар­монической линеаризации , причем . Для определения периодического решения частотным спосо­бом, согласно рис. 4.21, надо исследовать выражение

Из формулы (4.24) получаем для данной нелинейности

График этой функции изображен на рис. 4.25.

Передаточная функция линейной части, согласно при­меру 4.1 раздела 4.3, имеет вид

Амплитудно-фазовая характеристика для нее приведена на рис. 4.26. Функция же , являясь в данном случае вещественной (рис. 4.25), укладывается вся на отрица­тельной части вещественной оси (рис. 4.26). При этом на участке изменения амплитуды амплитуда отсчитывается слева извне внутрь кривой , а на участке — в обратную сторону. Следовательно, первая точка пересечения (α₁) дает неустой­чивое периодическое решение, а вторая (α₂) — устойчивое (автоколебания). Это согласуется с прежним решением (пример 4.2 раздела 4.3).

Рис.4.25. Функция Рис.4.26. АФЧХ

линейной части