3.1.2.Определение периодического решения (автоколебаний)
В этом случае расстояние AD по оси времени (рис. 3.1) является периодом автоколебаний. Вся кривая ABD после точки D должна повторяться в точности в том же виде. Вследствие нечетной симметрии характеристики (рис. 1.10) должна иметь место нечетная симметрия и полупериодов АВ и BD. Поэтому для определения периодического решения (автоколебаний) достаточно рассмотреть один полупериод — участок АВ.
Обозначим через Т полупериод искомых автоколебаний. В силу периодичности решения начало и конец участка АВ должны удовлетворять равенствам
(3.9)
(3.10)
при
.
Формула(3.2) для конца отрезка принимает вид:
Используя (3.4) получим:
Полученные соотношения подставляем в (3.9):
Откуда
(3.11)
Второе условие (3.10), согласно (3.3), запишется в виде
или
Подставив сюда выражение для из (3.11), придем к уравнению
(3.12)
с одной неизвестной величиной — полупериодом Т.
Трансцендентное уравнение (3.12) легко решается графически. Обозначим
Кривые
и
,
согласно этим равенствам, изображены
на рис. 3.3. Решением уравнения (3.10)
будет точка
,
т. е. точка пересечения кривых и (рис. 3.3). Отсюда находим полупериод Т автоколебаний. Частота автоколебаний
Рис.3.3. Графическое решение
трансцендентного уравнения
Амплитуда
автоколебаний определится как
на участке АВ (рис. 3.1), т. е. из условия
.
При этом из (3.2)
(3.13)
где
определяется формулой (3.11), a
— время t в точке максимума пока
неизвестно. Из (3.13) с учетом (3.11) находим
Откуда
Далее по формуле (3.3) определим амплитуду автоколебаний:
,
где известно из (3.11). В результате формула
позволяет вычислить и амплитуду автоколебаний.