2.3. Система с логическим управлением. Учет временного запаздывания

Рассмотрим автоматическую систему угловой стабили­зации объекта в среде без сопротивления (стабилизация аппарата в космосе). Структурная схема системы изображена на рис. 2.9. Уравнение динамики объекта, т. е. уравнение вращения объекта вокруг своей оси, имеет вид

, (2.12)

где J — момент инерции, ω — угловая скорость, М — вра­щающий момент со стороны системы управления. Будем считать, что вследствие некоторых внешних возмущений объект начал вращаться (например, в результате неидеальности процесса отделения от носителя при запуске), и рас­смотрим его стабилизацию с по­мощью системы управления при от­сутствии внешних возмущений.

Система управления (рис 2.9) состоит из двух измерителей: изме­рителя угла φ и измерителя уг­ловой скорости ω, с которых сигна­лы u₁ и u₂ снимаются в релейной форме, показанной на рис. 2.10 Эти сигналы поступают в логическое устройство, вырабатывающее нели­нейный закон управления в виде некоторой логической функции , которая служит управляющим воздействием на включение и выключение газовых сопел, создающих вращательный

Рис.2.9. Система

управления

момент М.

Логическая управляющая функция может быть сформирована в различных видах. В простейшем случае можно сформировать ее, как показано на рис. 2.11, использовав для переключений скачки сигналов u₁ и u₂ (рис. 2.10) при и . При этом соответствует созданию управляющего момента в поло­жительном направлении (против часовой стрелки), — в отрицательном направлении и — отсут­ствию момента (все сопла выключены).

Указанный выбор логической функции Ф диктуется следующими соображениями. В нулевой зоне — (рис. 2.10 и 2.11) нет сигнала от датчика угла. Уста­навливаем , так как объект находится вблизи требуемого положения , и регулирующее воздействие не требуется. В I квадранте (рис. 2.11) имеем и . Следовательно, угол φ увеличивается во времени — объект уходит от требуемого положения. Здесь устанавливаем (направление вращающего мо­мента противоположно направлению угловой скорости ω).

Аналогично в III квадранте, где знаки φ и ω отрицатель­ные, включается .

Что касается IV квадранта (рис. 2.11), то там ,но , т. е. объект сам возвращается к требуемому положению .

Рис.2.10. Скачки сигналов u₁ и u₂

при и

Здесь можно обой­тись без управляющего момента. Устанавливаем . Границей между областью (в I квадранте) и областью (в IV квадранте) назначаем величину (рис. 2.11), когда сигнал с датчика угловой скорости имеет перескок с нуля к отрицательному значению (рис. 2.10). Ана­логично поступаем и во II квадранте (рис. 2.11).

В соответствии с этой схемой строится логическое устройство (рис. 2.9). Его функционирование можно описать таблицей 2.1 выходного сигнала Ф в зависимости от входных.

Рис.2.11. Выбор

логической функции Ф

Таблица 2.1. Зависимость

сигналов u₁ от u₂

Сигнал u2	Сигнал u1
	-	0	+
-	+1	0	0
0	+1	0	-1
+	0	0	-1

Здесь приведен пример простейшей логики формиро­вания закона управления. Можно выбирать и другие, более сложные,

в зависимости от требований, предъяв­ляемых к системе по экономичности, точности, быстродей­ствию и т. п.

Рассмотрим идеальную работу системы управления (без запаздывания сигналов по всей цепи звеньев). В этом случае уравнение системы управления запишется в виде

(2.13)

где — величина управляющего момента, ко­торый создается включаемыми на постоянную тягу газовыми соплами;

— логический закон управления, определяемый в данном случае приведенной выше таб­лицей или согласно графику на рис. 2.11.

Общее уравнение системы, согласно (2.12) и (2.13), можно записать в виде

(2.14)

Физический смысл величины с — постоянное угловое ус­корение вращения объекта под действием момента .

Дифференциальное уравнение фазовых траекторий:

(2.15)

Фазовую плоскость ограничим по оси абсцисс значения­ми (рис. 2.12), причем для вращающегося тела точки совпадают. Этим охватывается полный оборот объекта. Поскольку по оси абсцисс откладываются значения т. е. значения угла поворота тела вокруг оси, то мы фактически получаем цилиндрическую фазовую поверхность, ко­торая здесь развернута на плоскость.

В области, где (рис. 2.12), уравнения (2.15) принимают вид

вследствие чего фазовые траектории являются парабо­лами:

(2.16)

В области, где , имеем фазовые траектории

(2.17)

Наконец, в области, где , получаем прямые линии

(2.18)

Все указанные траектории приведены на рис. 2.12.

Рис.2.12. Фазовые траектории

Рассмотрим ход процесса. Пусть начальные условия определяются точкой N₀ (рис. 2.12). Процесс пойдет согласно фазовой траектории N₀ — 1—2. Точка 2 ( ) при вращении совпадает с точкой 2 ( ).

Поэтому дальше процесс пойдет в соответствии с фазовой траекторией 2—3—4—5. Как видно из рис. 2.12, точка N₁ в которой угол φ равен начальному (в точке N₀), означает, что объект совершил один полный оборот. За­тем (траектория N₁—3—4—5) он начал колебательное движение около своей оси. Начиная с точки 5, получаем замкнутую фазовую траекторию 5—6—7—8—5. Следо­вательно, объект входит в установившийся автоколеба­тельный режим с амплитудой

(2.19)

Своеобразие этого предельного цикла состоит, во-пер­вых, в том, что снаружи фазовые траектории приближа­ются к нему не асимптотически, как было ранее в дру­гих задачах, а за конечное число колебаний (и за ко­нечное время). В описанном выше процессе это было за один оборот плюс один размах колебания. Своеобразие этого предельного цикла заключается также в том, что фазовые траектории внутри него тоже замкнутые и окру­жают отрезок равновесия DE. Поэтому при малых на­чальных отклонениях, лежащих внутри предельного цик­ла, получаются периодические колебания, определяемые начальными условиями. В частности, состояние равнове­сия, возможное только при и не является устойчивым. Особый отрезок DE имеет здесь свойства, аналогичные особой точке типа «центр» (рис. 1.39 и 1.40). Итак, установившимся режимом в данной системе являются автоколебания с амплитудой (2.19).

Введем теперь в рассмотрение временное запаздыва­ние в системе управления. Пусть — величина запазды­вания при включении газовых сопел, а — при их вы­ключении ( ). Поскольку к линии включения со­пел (рис. 2.12) объект подходит с постоянной ско­ростью (горизонтальные фазовые траектории), то за счет запаздывания включения сопел он перейдет за эту линию на величину . Это значит, что ли­ния включения займет теперь в координатах (φ, ω) на­клонное положение (рис. 2.13). Аналогично и в III квад­ранте.

К линии же выключения сопел объект под­ходит с постоянным ускорением — с (параболическая фазовая траектория). Поэтому за счет запаздывания выклю­чения сопел τ₂ он перейдет за эту линию на величину . Следовательно, линия выключения сопел сместится вниз (рис. 2.13). Аналогично в ле­вой полуплоскости линия выключения сместится вверх на величину .

В соответствии с этим на рис. 2.13 нанесены фазовые траектории. Видно, что предельный цикл за счет запаз­дываний увеличился в размерах. Амплитуда его

(2.20)

вместо прежней (2.19).

Рис. 2.13. Фазовые траектории с

запаздыванием

Изменится картина фазовых траекторий и внутри предельного цикла. Там включение сопел будет происхо­дить на линиях FG и F₁G₁. Выключение же — на линиях FH и F₁H₁, которые получаются от перехода парабол за линии на соответственно, причем отрезок Δ (рис. 2.13) определяется по формуле

В результате внутри предельного цикла получаются рас­ходящиеся спиралевидные фазовые траектории. Это соответствует расходящимся колебаниям системы, переходя­щим в предельный цикл. Здесь, как и в предыдущем случае, система попадает в автоколебательный режим изв­не не асимптотически, а за конечное число колебаний.

Рассмотренный подход к учету на фазовой плоскости временного запаздывания в системе эквивалентен в ка­кой-то степени исследованию некоторых свойств системы выше второго порядка. Примерно таким же образом мо­жет влиять на поведение системы учет постоянных времени в системе управления.

Аналогичным способом можно производить учет вре­менного запаздывания и в релейных системах автомати­ческого управления.