3.2. Магнітостатичне поле

магнітостатичні поля, як і електростатичні, позбавлені енергообміну, бо .

Інтегральні аналоги: та .

Тут аналогічно вводять величину (магнітостатичний потенціал), для якого: .

Аналогічно, як і в електростатиці, записуємо: . (3.11)

Тоді при отримуємо р-ня Лапласа: .

Для постійних магнітів: , де не залежить від .

Тоді: . (3.12)

А при отримуємо р-ня Пуассона: , (3.13)

розв’язком якого є: .

На границі розділу двох середовищ з різними магнітними проникливостями ( ) повинні виконуватися загальні граничні умови для векторів i :

Таким чином, напруженість магнітостатичного поля і напруженість електростатичного поля в області без зарядів задовольняють однакові рівняння і однотипні умови. Відповідно, рішення задач магнітостатики можна отримати із рішення аналогічних задач електростатики простою заміною в них на і на .

3.3. Провідники в електростатиці

Е лектростатичні поля не існують у провідних середовищах. Оскільки в електростатиці струм відсутній, тому на поверхні провідних середовищ .

ПРИКЛАД 1. Відсутність будь-якої компоненти вектора всередині провідного об’єму V і на його поверхні S означає, що , тобто поверхня S –еквіпотенціальна.

Тому на поверхні провідника:

. (3.14)

Поява заряду під дією електростатичного поля називається електростатичною індукцією (див. рисунок).

ПРИКЛАД 2. «Метод дзеркальних відображень»

Розглянемо вплив точкового заряду на провідну площину. Воно виявляється таким, як ніби крім вихідного заряду q, діяло також його відображення – q. Дійсно, поле у верхньому півпросторі задовольняє у цьому випадку умову , і площина є еквіпотенціальною. Якщо скласти поля двох точкових зарядів: дійсного і „відображеного”, то в результаті із геометричної побудови отримаємо (див. рис.): .

Тоді заряд, наведений на всій площині:

.

(тут враховано, що D=ξ=εε_oE із (3.14)).

3.4. Ємність

Заряд провідника пропорційна потенціалу, тобто: .

Або Фарад [Ф] – ємність провідника. (3.15)

П РИКЛАД 1. Ємність відокремленої кулі

Для кулі: (раніше розглядали – див. (3.8)). Звідки , а тому

(3.16)

Для ідеального конденсатора, де один провідник знаходиться в середині іншого провідника (див. рис. справа), ємність визначається як: , (3.17)

де – різниця потенціалів двох провідників.

ПРИКЛАД 2. Сферичний конденсатор

Визначимо ємність сферичного конденсатора (див. рис.). У зв’язку із сферичною симетрією внутрішнє поле виявляється таким, як і у випадку точкового заряду (приклад 1). Тому для зовнішнього і внутрішнього провідників маємо наступні відношення: і .

Якщо створити різницю потенціалів , і підставити у співвідношення (3.17), можна легко отримати:

. (3.18)

На ідеальний конденсатор зовнішні електростатичні поля не впливають. Дійсно, тоді зовнішні поля створюють таке розташування зарядів на поверхні провідних тіл, які компенсують ці поля.

ПРИКЛАД 3. Плоский конденсатор

Дві однакові провідні плоскі пластини, що розташовані паралельно одна одній і мають однакові за величиною та протилежні за знаком заряди, створюють плоский конденсатор (див. рис).

Ємність плоского конденсатора:

.

Якщо розміри пластини не можна вважати більшими у порівнянні з d, то формула для ємності стає неточною. Справжня ємність є більшою за ємність, що отримується за цією формулою.

ПРИКЛАД 4. Коаксіальний кабель (циліндричний конденсатор)

Циліндричний конденсатор складається із внутрішнього провідника радіусом і коаксіальної з ним циліндричної оболонки з внутрішнім радіусом (див. рис).

ℓ

Ємність на одиницю довжини нескінченного циліндричного конденсатора рівна:

.

Формула для ємності циліндричного конденсатора достатньо точна для практичних цілей тільки у випадку конденсаторів, довжина провідників яких велика порівняно з відстанню між ними. В конденсаторах з короткими провідниками поле між ними не можна вважати рівномірним і формула дає ємність, що є меншою за реальну.

ПРИКЛАД 5. Двохпровідна лінія

Розглянемо електростатичне поле двохпровідної лінії (див. рис.), тобто поле двох паралельних протилежно заряджених нескінченних циліндрів радіуса r, відстань між осями яких рівна d. Потенціали провідників будемо вважати відомими. Заряди циліндрів на одиницю довжини рівними за величиною і протилежними за напрямом. Наведемо тут без виведення кінцеву формулу для визначення ємності двохпровідної лінії:

.

Ця формула особливо точна у випадку тонких провідників.