31

3. Стаціонарне поле

Стаціонарним називають незмінне в часі електромагнітне поле, що існує при наявності постійного струму. Воно описується системою рівнянь Максвелла у диференціальній формі:

(3а)

В системі (3а) можна виділити дві групи рівнянь, одна з яких включає тільки електричні вектори ( і ), а друга – тільки магнітні ( i ). При наявності постійного струму ці групи рівнянь зв’язані відношенням .

Відокремимо електричну і магнітну складові:

– рівняння, що включає тільки електричні складові:

(3б)

– рівняння, що включає тільки магнітні складові:

(3в)

З рівнянь групи (3б) випливає, що електричне поле постійного струму, як і електростатичне, є потенціальним, а із групи (3в) випливає, що магнітне поле є вихровим.

Варто зауважити, якщо , то електрична і магнітна системи незалежні. Відповідно, в стаціонарному полі лінії струму є неперервними ( ).

3.1. Електростатичне поле

Якщо розглядати незмінне в часі електричне поле при відсутності струмів ( ):

(3.1)

Це є система рівнянь електростатики. А електричні поля, що відповідають системі рівнянь (3.1), будемо називати електростатичними.

О скільки , тому поле потенціальне або безвихрове. Для безвихрового поля можна написати: , (3.2)

де – електростатичний потенціал. Знайдемо роботу по переміщенні заряду q із точки М₁ в М₂ по деякому контуру(див. рис.):

. (3.3)

Знак мінус у формулі (3.3) означає, що корисна робота виконується у тому випадку, коли заряд переміщується проти сил поля.

Тут . Тоді: , (3.4)

де – значення потенціалу в точках М₁ і М₂ відповідно.

Із (3.3) і (3.4) випливає: . (3.5)

Тобто, при переміщені зарядів по замкнутому колу робота не виконується.

Тут , а потенціал: . Потенціал дорівнює роботі, яка виконується при переміщенні додатного точкового заряду з точки M у .

Потенціал – скалярна функція, яка цілком визначає векторне поле. (див. 3.2): .

З 2-го рівняння Максвелла: (3.6)

Якщо середовище однорідне, то , тоді – це є рівняння Пуассона.

Якщо в частині середовища, що розглядається, заряди є відсутні (=0), то рівняння Пуассона перейде в рівняння Лапласа: .

Способи вирішення рівнянь Пуассона і Лапласа – самостійно.

Приведемо лише кінцевий розв’язок рівняння Пуассона(див. рис. зліва):

. (3.7)

ПРИКЛАДИ:

Для точкового заряду q можна знайти(див. рис.):

, тоді . (3.8)

В раховуючи, що величина для точкового заряду була нами знайде-на із другого р-ня Максвелла: . Аналогічно для нескінченно зарядженої нитки із погонною густиною заряду: . (3.9)

Аналогічно можна показати, що для рівномірно зарядженої діелектричної кулі (див. рис.) із зарядом: :

(3.10)

Якщо заряд розподілений рівномірно на поверхні сфери (див. рис.), тоді: .

Отже, будемо мати, що при ,

а при : .

А на поверхні сфери: .

Для наочності електростатичне поле представляють графічно. При цьому, зазвичай, окрім силових ліній, розглядають його еквіпотенціальні поверхні, тобто поверхні рівного потенціалу, для яких: ,

де вектор співпадає з напрямом дотичної до еквіпотенціальної поверхні. Наведена вище рівність означає, що поверхні рівного потенціалу і силові лінії електростатичного поля перетинаються під прямим кутом.