5.2. Плоскі електромагнітні хвилі

Плоскою електромагнітною хвилею називають таку хвилю, вектори якої в кожен момент часу приймають постійне значення на системі паралельних площин. Таким чином, якщо вибрати вісь z перпендикулярною до цих площин, то в монохроматичній плоскій хвилі комплексні амплітуди полів i будуть залежати тільки від координати z, але не від координат х і у.

Розглянемо однорідне ізотропне середовище без втрат ( ), в якому відсутні сторонні струми. Нехай ЕМ-поле залежить тільки від координати z. Тоді перші два рівняння Максвелла набудуть наступного вигляду:

та . (5.9)

З виразів (3) та (6) випливає, що поздовжні компоненти поля рівні нулю: . А це означає, що електромагнітне поле має лише поперечні компоненти. Рівняння, які залишилися, діляться на дві групи, одна з яких містить і , а інша – і , тобто ці дві системи можна розв’язувати окремо, незалежно від іншої.

Продиференціювавши (5) по z та із врахуванням (1) отримаємо:

, – хвильове рівняння (5.10)

де – хвильове число; – показник заломлення (оптична густина) середовища; – швидкість світла у вакуумі; – швидкість світла в середовищі. Тоді довжина хвилі в середовищі: .

В загальному випадку рішення хвильового рівняння (5.10) виглядає так:

, (5.10а)

де і – довільні постійні. Підставивши цей розв’язок у (5), знайдемо напруженість магнітного поля: , (5.11)

де – характеристичний (хвильовий) опір середовища, який для вакууму: . Тоді для довільного середовища: .

Поклавши і перейшовши від комплексних амплітуд до миттєвих значень напруженості поля, отримуємо: . (5.12)

З отриманої відповіді випливає, що фронт хвилі плоский: z=const. Знайдене рішення описує плоску однорідну хвилю. Швидкість переміщення фронту хвилі, тобто фазову швидкість знайдемо так. Для цього зафіксуємо: . Продиференціюємо це за часом: . Звідки фазова швидкість:

, (5.13)

т обто для плоскої однорідної хвилі фазова швидкість співпадає зі швидкістю світла у даному середовищі. Очевидно, що при отримаємо хвилю, яка поширюється з тією ж швидкістю у зворотньому напрямку z. Цю хвилю називають відбитою, а першу – падаючою.

П рава трійка векторів , і показана на рисунку, звідки видно, що хвиля є поперечною. На рис. знизу представлений миттєвий знімок розподілення поля, що відповідає формулам (5.12). Така електромагнітна хвиля, для якої складові векторів напруженості електричного і магнітного полів коливаються лише у площині, перпендикулярній напрямку поширення (тобто поздовжні складові поля відсутні), називається поперечною хвилею і коротко позначається Т-хвиля (від англійського слова transverse – поперечний). Обчислимо вектор густини потоку енергії, що переноситься хвилею (так званий вектор Умова-Пойнтінга). Легко бачити, що:

тобто, енергія поширюється вздовж осі z. Густина енергії ЕМ-поля:

– якщо втрати відсутні.

Тоді швидкість переносу енергії рівна:

, (5.14)

оскільки , тому енергія переноситься з властивою даній хвилі фазовою швидкістю.