1.5. Потік вектора

Потік вектора через поверхню S (не обов’яз-ково замкнену) – це скалярна величина, яка чисельно рівна кількості ліній вектора, що пронизують дану площадку: , (1.13)

д е векторний диференціал розуміється як добуток звичайного (скалярного) диференціалу поверхні на орт нормалі , тобто . Тому . Якщо поверхня S замкнена, то , тоді – орт зовнішньої нормалі, який для незамкненої поверхні вибирається довільно. Потік Ф додатній, якщо силові лінії виходять з поверхні S назовні, і від’ємний, якщо вони входять всередину (тому що, кут між і у першому випадку гострий, а у другому – тупий). Потік вектора вимірюється числом його ліній, що виходять з поверхні, якщо густина ліній відповідає інтенсивності поля.

Є такі типи полів векторного поля в області V із поверхнею S:

1.6. Дивергенція

Потік вектора є інтегральною характеристикою поля, яка застосовується до кінцевого об’єму, але не дає інформації про розподіл зарядів в цьому об’ємі. У зв’язку з цим вводиться аналогічна диференціальна характеристика – дивергенція вектора, яка застосовується до точки. Зменшуючи поверхню, яка обмежує деякий об’єм простору до точки, отримаємо скалярну характеристику поля – дивергенцію.

Дивергенцією (а також розходженням) вектора називається величина, що визначається співвідношенням: . (1.14) Дивергенція – це скалярна функція координат. Позначаючи потік вектора через поверхню S як Ф, можна написати:

або в декартових координатах: (1.15)

Дивергенція – це диференціальна операція над компонентами вектора, що приводить до скалярної величини. Якщо в деякій точці , то ця точка є джерелом силових ліній – це є витік; якщо , то точка є стоком. Якщо , то лінії не починаються і не закінчуються в цій точці.

1.7. Циркуляція

Н ехай задано довільне векторне поле і у цьому ж полі вибрана крива l, причому вказано додатній напрямок руху по ній (див. рис.). Лінійним інтегралом вектора по кривій l називається криволінійний інтеграл: . Враховуючи, що в декартових координатах диференціал дуги рівний , тоді будемо мати:

Якщо крива ℓ замкнута, то лінійний інтеграл вектора вздовж неї так само називається циркуляцією вектора вздовж ℓ:

. (1.16)

1.8. Ротор

Ротором (а також ротацією, вихором) вектора називається векторна величина, що позначається символом . За визначенням, проекція на деякий напрямок (в точці, околом якої є площадка S), є:

. (1.17)

де – нормаль до площадки S (орт ); L– граничний контур S, узгоджений з правогвинтовою системою:

. (1.18)

Ротор – це диференціальна операція над , що приводить до нової векторної величини .

1.9. Оператор Гамільтона

Англійський математик Вільям Гамільтон помітив, що основні диференційні операції, які проводяться над скалярними і векторними полями, можна дуже зручно записати, якщо ввести особливий символ: . (1.19)

Цей символ отримав назву “набла” або “оператор Гамільтона”. (Слово “набла” по-грецьки означає “арфа”). Основні випадки застосування набла-вектора:

1. При множенні символічно  на скалярну функцію U(x,y,z) отримуємо градієнт цієї ж функції:

2. При множенні скалярно  на векторну функцію F(x,y,z), отримуємо дивергенцію функції:

3. При множенні векторно набла-вектор  на векторну функцію F(x,y,z), отримуємо ротор функції:

Диференціальний оператор діє тільки на той множник, який розташований безпосередньо за оператором. Приклади:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , де – скаляр.