14.4. Некоторые примеры
Приведем два характерных статистических примера, которые легко решаются с помощью Mathcad.
14.4.1. Интервальная оценка дисперсии
Требуется определить числовой интервал (L,U), внутри которого будет лежать с вероятностью 1-сс=75% дисперсия нормальной случайной величины, исходя из объема выборки в N чисел. Эта задача решается в статистике с помощью х2-распределения (листинг 14.21).
Листинг 14.21. Интервальное оценивание дисперсии 1
Указанный интервал называется (1-а)% доверительным интервалом. Обратите внимание на использование при решении данной задачи функции stdev (с прописной буквы) для расчета выборочного стандартного отклонения. В статистике часто встречаются выражения, которые более удобно записывать через функции в такой нормировке, именно для этого они и появились в Mathcad.
14.4.2. Проверка статистических гипотез
В статистике рассматривается огромное число задач, связанных с проверкой тех или иных гипотез н. Разберем пример простой гипотезы. Пусть имеется выборка N чисел с нормальным законом распределения и неизвестными дисперсией и математическим ожиданием. Требуется принять или отвергнуть гипотезу н о том, что математическое ожидание закона распределения равно некоторому числу m0=0.2.
Задачи проверки гипотез требуют задания уровня критерия проверки гипотезы а, который описывает вероятность ошибочного отклонения истинной н. Если взять а очень малым, то гипотеза, даже если она ложная, будет почти всегда приниматься; если, напротив, взять а близким к 1, то критерий будет очень строгим, и гипотеза, даже верная, скорее всего, будет отклонена. В нашем случае гипотеза состоит в том, что цо=о.2, а альтернатива — что m0=0.2. Оценка математического ожидания, как следует из курса классической статистики, решается с помощью распределения Стьюдента с параметром N-1 (этот параметр называется степенью свободы распределения).
Для проверки гипотезы (листинг 14.22) рассчитывается (а/2) — квантиль распределения Стьюдента т, который служит критическим значением для принятия или отклонения гипотезы. Если соответствующее выборочное значение t по модулю меньше т, то гипотеза принимается (считается верной). В противном случае гипотезу следует отвергнуть.
Листинг 14.22. Проверка гипотезы о математическом ожидании при неизвестной дисперсии
В последней строке листинга вычисляется истинность или ложность условия, выражающего решение задачи. Поскольку условие оказалось ложным (равным не 1, а 0), то гипотезу необходимо отвергнуть.
На рис. 14.16 показано распределение Стьюдента с N-1 степенью свободы вместе с критическими значениями, определяющими соответствующий интервал. Если t (оно тоже показано на графике) попадает в него, то гипотеза принимается; если не попадает (как произошло в данном случае) — отвергается. Если увеличить а, ужесточив критерий, то границы интервала будут сужаться, по сравнению с показанными на рисунке.
В листинге 14.23 приводится альтернативный способ проверки той же самой гипотезы, связанный с вычислением значения не квантиля, а самого распределения Стьюдента.
Рис. 14.16. К задаче проверки статистических гипотез (листинг 14.22)
Листинг 14.23. Другой вариант проверки гипотезы (продолжение листинга 14.22)
Мы разобрали только два характерных примера статистических вычислений. Однако с помощью Mathcad легко решаются самые разнообразные задачи математической статистики.
Большое количество задач разобрано в Ресурсах в рубрике Statistics (Статистика) справочной системы Mathcad.