9.2.7. Ранг матрицы
Рангом (rank) матрицы называют наибольшее натуральное число k, для которого существует не равный нулю определитель k-ro порядка подматрицы, составленной из любого пересечения k столбцов и k строк матрицы.
Для вычисления ранга в Mathcad предназначена функция rank.
rank (А) — ранг матрицы;
А — матрица.
Листинг 9.32. Ранг матрицы
9.3. Системы линейных алгебраических уравнений
Центральным вопросом вычислительной линейной алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), т. е. систем уравнений вида
аi1x1+аi2х2+. . .+ainхn=bi (1)
В матричной форме СЛАУ записывается в эквивалентном виде:
Ах = b, (2)
где А — матрица коэффициентов СЛАУ размерности N*N, х — вектор неизвестных, b— вектор правых частей уравнений.
К системам линейных уравнений сводится множество, если не сказать большинство, задач вычислительной математики.
СЛАУ имеет единственное решение, если матрица А является невырожденной, или, по-другому, несингулярной, т. е. ее определитель не равен нулю. С вычислительной точки зрения, решение СЛАУ не представляет трудностей, если матрица А не очень велика. С большой матрицей проблем также не возникнет, если она не очень плохо обусловлена. В Mathcad СЛАУ можно решить как в более наглядной форме (1), так и в более удобной для записи форме (2). Для первого способа следует использовать вычислительный блок Given/Find, а для второго — встроенную функцию isoive.
isoive ( А, Ь) — решение системы линейных уравнений;
А — матрица коэффициентов системы;
b — вектор правых частей.
Применение функции isoive показано в листинге 9.33. При этом матрица А может быть определена любым из, необязательно явно, как во всех примерах этого раздела. Встроенную функцию isoive допускается применять и при символьном решении СЛАУ (листинг 9.34).
Соответствующая матрице А и вектору b система уравнений выписана явно в листинге 9.35.
Листинг 9.33. Решение СЛАУ
Листинг 9.34. Символьное решение СЛАУ (продолжение листинга 9.33)
В некоторых случаях, для большей наглядности представления СЛАУ, его можно решить точно так же, как систему нелинейных уравнений (см. гл. 8). Пример численного решения СЛАУ из предыдущих листингов показан в листинге 9.35. Не забывайте, что при численном решении всем неизвестным требуется присвоить начальные значения (это сделано в первой строке листинга 9.35). Они могут быть произвольными, т. к. решение СЛАУ с невырожденной матрицей единственно.
При решении СЛАУ с помощью функции Find Mathcad автоматически выбирает линейный численный алгоритм, в чем можно убедиться, вызывая на имени Find контекстное меню.
Листинг 9.35. Решение СЛАУ с помощью вычислительного блока
14. Математическая статистика
14.1. Случайные величины
Для моделирования различных физических, экономических и прочих эффектов широко распространены методы, называемые методами Монте-Карло. Их основная идея состоит в создании определенной последовательности случайных чисел, моделирующей тот или иной эффект, например, шум в физическом эксперименте, случайную динамику биржевых индексов и т. п. Для этих целей в Mathcad имеется ряд встроенных функций, реализующих различные типы генераторов псевдослучайных чисел.
Согласно определению, случайная величина принимает то или иное значение, но какое конкретно, зависит от случайных обстоятельств опыта и заранее точно предсказано быть не может. Можно лишь говорить о вероятности P(Xк) принятия случайной дискретной величиной того или иного значения хк, или о вероятности попадания непрерывной случайной величины в тот или иной числовой интервал (х,х+dх). Вероятность Р(ХК) или P(X) (dх), соответственно, может принимать значения от 0 (такое значение случайной величины совершенно невероятно) до i (случайная величина заведомо примет значение от х до х+dх). Соотношение Р(ХК) называют законом распределения случайной величины, а зависимость P(х) между возможными значениями непрерывной случайной величины и вероятностями попадания в их окрестность называется ее плотностью вероятности (probability density).
В Mathcad имеется ряд встроенных функций, задающих используемые в математической статистике законы распределения. Они вычисляют как значение плотности вероятности различных распределений по значению случайной величины х, так и некоторые сопутствующие функции. Все они, по сути, являются либо встроенными аналитическими зависимостями, либо специальными функциями. Большой интерес представляет наличие генераторов случайных чисел, создающих выборку псевдослучайных данных с соответствующим законом распределения. Рассмотрим подробно возможности Mathcad на нескольких наиболее популярных законах распределения, а затем приведем перечень всех распределений, встроенных в Mathcad.