15. Выборочное наблюдение

В целом ряде случаев средние и относительные величины для какой-либо совокупности рассчитываются на основе данных выборочного наблюдения, суть которого заключается в том, что из генеральной совокупности, наудачу, часто случайно, отбирается 𝑛 единиц, составляющих выборочную совокупность; для отобранных единиц рассчитываются обобщенные характеристики (средние или относительные показатели), а затем результаты выборочного обследования распространяются на всю генеральную совокупность. Основной задачей при этом является определение ошибок выборки.

Различают среднюю и предельную ошибки выборки.

Средняя ошибка выборки (𝜇) характеризует среднюю величину возможных расхождений выборочной и генеральной средней (или доли).

При случайном повторном отборе средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле 𝜇 = , где - дисперсия изучаемого показателя в генеральной совокупности, а 𝑛 – объем выборки.

Средняя ошибка выборочной доли определяется по формуле 𝜇 = , где 𝑤 – выборочная доля единиц, обладающих изучаемым признаком, а - дисперсия доли (альтернативного признака).

При бесповторном отборе в формулах под знаком радикала появляется множитель , где 𝑁- численность генеральной совокупности.

Предельная ошибка выборки, обозначаемая через ∆, рассчитывается как ∆ = 𝑡𝜇 , где 𝜇 – средняя ошибка выборки, 𝑡 – коэффициент доверия, показатель, определяющий размер ошибки в зависимости от того, с какой вероятностью 𝑷 она находится.

Значения 𝑡 и 𝑷 (вероятность допуска той или иной ошибки) даны в специальных таблицах, где рассматривается как функция 𝑡 и рассчитывается по формуле :

Таким образом, общая формула предельной ошибки выборки ∆ = 𝑡𝜇 для средней приобретает вид ∆ = 𝑡 (для повторного отбора) или

∆ = 𝑡 (для бесповторного отбора), а для доли соответственно

∆ = 𝑡 и ∆ = 𝑡 .

Формулы предельной ошибки несколько конкретизируются и в зависимости от применяемого вида выборки. Так, указанные выше формулы применимы для собственно случайной и механической выборок.

Для типической ∆ = 𝑡 или ∆ = 𝑡 .

В этом случае ошибка выборки зависит от внутригрупповой вариации.

При серийной (гнездовой) выборке, ∆ = 𝑡 .

Все рассмотренные выше формулы используются при так называемой большой выборке.

Если 𝑛 < 20, то выборка именуется малой и при расчете ошибок выборки необходимо учитывать следующие моменты:

1) в формуле средней ошибки в знаменателе принимается 𝑛 – 1, т.е.

2) при определении доверительных интервалов исследуемого показателя в генеральной совокупности пользуются таблицами вероятности Стьюдента, где 𝑃= 𝑆(𝑡,𝑛) определяется в зависимости от объема выборки и 𝑡.

Рассмотрим решение некоторых задач к этой теме с применением формул предельной ошибки выборки.

Задача 1.

Методом собственно случайной выборки обследована жирность молока у 100 коров. По данным выборки средняя жирность молока оказалась равной 3,64%, а дисперсия составила 2,56.

Определить:

1) среднюю ошибку выборки;

2) с вероятностью, равной 0,954, предельные значения генеральной средней.

Решение.

1) формула средней ошибки выборки: 𝜇 = . По условию 𝑛 = 100, = 2,56. Отсюда 𝜇 =

2) формула предельной ошибки выборки: ∆ = 𝑡𝜇. По таблице значений 𝐹(𝑡) при 𝑃 = 0,954 находим, что 𝑡 = 2. Отсюда ∆ = 2·0,16 = 0,32, или = 3,64 0,32, т.е. предельные значения жирности молока (или доверительный интервал генеральной средней) определятся как

3,32% ≤ ≤ 3,96%.

Задача 2.

Для определения средней заработной платы рабочих завода была произведена 20% бесповторная выборка (по цехам) с отбором единиц пропорционально численности групп. Результаты выборки представлены в приводимой ниже таблице:

цех	Объем выборки, чел., 𝑛	Средняя заработная плата, руб.,	Среднее квадратическое отклонение, руб.,
1 2 3	120 100 180	873 886 900	30 80 60
Всего	400	–	–

С вероятностью 0,997 (т.е. 𝑡 = 3) определить пределы, в которых находится средняя заработная плата всех рабочих завода.

Решение.

1) Находим общую выборочную среднюю заработную плату:

(руб)

2) Находим среднюю из групповых дисперсий:

= =

3) Определяем предельную ошибку выборочной средней заработной платы. Для типической бесповторной выборки

∆ = 𝑡 = 3 =

Отсюда генеральная средняя

= = 888,4 7,9 или 880,5 ≤ ≤ 896,3, т.е. средняя заработная плата всех рабочих находится в пределах от 880,5 до 896,3 руб.