1.5 Моменти інерції пластини

Момент інерції матеріальної точки відносно деякої осі дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані до цієї осі:

Нехай матеріальна пластина має форму замкненої області , а густина в кожній точці пластини є неперервною в області функцією. Розіб’ємо область на частини з площами і виберемо в кожній частині довільну точку . Замінимо пластину системою матеріальних точок із зосередженими в цих точках масами . Тоді моменти інерції пластини відносно координатних осей наближено знаходять за формулами:

Якщо в кожній із сум перейти до границі при то матимемо точні рівності для знаходження моментів інерції матеріальної пластини відносно осей :

Враховуючи, що момент інерції матеріальної точки відносно початку координат дорівнює сумі моментів інерції цієї точки відносно координатних осей і скориставшись міркуваннями, аналогічними попереднім, для моменту інерції пластини відносно початку координат маємо:

Деякі застосування потрійного інтеграла

2.1 Обчислення об’ємів

Якщо існує границя при інтегральних сум яка не залежить ні від способу розбиття області на елементарні частини , ні від вибору точок , то її називають потрійним інтегралом від функції по області і позначають:

або

Таким чином, за означенням

2.2 Маса тіла

Нехай це обмежена замкнена область простору , яку займає деяке матеріальне тіло з густиною , де – неперервна функція в області , тоді маса цього тіла

Нехай речовину неперервно розподілено в тривимірній області з густиною . Потрібно розділити на елементарні частини. Маса відповідної елементарної частини дорівнює , де — елемент об'єму в декартовій системі координат. Елементарні статичні моменти відносно координатних площин визначаються рівностями , , . Після граничного переходу маса тіла, якому відповідає область визначатиметься за наступними формулами:

2.3 Моменти інерції

Момент інерції матеріальної точки відносно деякої осі дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані до цієї осі:

Нехай матеріальне тіло має форму замкненої області , а густина в кожній точці тіла є неперервною в області функцією. Розіб’ємо область на частини , з об’ємами і виберемо в кожній частині довільну точку . Замінимо тіло системою матеріальних точок із зосередженими в цих точках масами . Тоді моменти інерції тіла відносно координатних осей наближено заходять за формулами:

Момент інерції просторового тіла відносно початку координат знаходять за формулою:

Моменти інерції тіла відносно координатних площин

визначаються інтегралами:

2.4 Статичні моменти. Координати центра маси тіла

Статичним моментом матеріальної точки простору маси відносно деякої площини називається величина, яка дорівнює добутку маси цієї точки на відстань її від площини, тобто .

Нехай просторове тіло матиме форму області , густина тіла є неперервною і невід’ємною в цій області функцією. Розіб’ємо область на частини , після чого виберемо в кожній частині довільну точку . і наближено вважатимемо, що густина в усіх точках області є сталою і дорівнює . Таким чином, маса кожної частини дорівнює , де об‘єм елементарної області . Якщо вважатимемо, що кожну з цих мас зосереджено в точці , то тіло можна розглядати як сукупність матеріальних точок. Статичні моменти тіла відносно координатних площин наближено визначаються за наступними формулами:

Точні значення статичних моментів тіла відносно площин отримаємо, якщо в цих формулах перейти до границі при

Отже, ми маємо

Якщо відомо масу та статичні моменти, то можна знайти координати

центра маси тіла за наступною формулою

Таким чином,

Якщо тіло однорідне, тобто , то координати центра

маси визначають за формулами

Де — об’єм тіла.