МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

Факультет	Комп’ютерної інженерії та управління
	(повна назва)

Кафедра	Вищої математики
	(повна назва)

САМОСТІЙНА РОБОТА №1

Тема: «Використання кратних інтегралів для розв'язків задач геометрії та фізики»

Варіант № 11

ВИКОНАВ: ПЕРЕВІРИЛА:

ст. гр. КІУКІ-16-1 Клімова Н.П.

Осіпова Д.Ю.

ХАРКІВ - 2017

ЗМІСТ

Вступ

1. Застосування подвійних інтегралів

2. Площа плоскої фігури та об’єм тіла ……………………………………3

3. Площа поверхні ……………………………………………………….....3

4. Маса пластини …………………………………………………………...5

5. Центр маси пластини…………………………………………………….5

6. Моменти інерції пластини ……………………………………………....7

2. Деякі застосування потрійного інтеграла

   1. Обчислення об'ємів ………………………………………………………7

   2. Маса тіла ………………………………………………………………….8

   3. Моменти інерції ………………………………………………………….9

   4. Статичні моменти. Координати центра маси тіла ……………………..9

3. Розв’язання задач

   1. Задача 1……………………………………………………………………11

   2. Задача 2……………………………………………………………………12

Перелік посилань

Вступ

Ідеї інтегрального числення беруть свій початок у роботах стародавніх математиків. Інтегральне числення і саме поняття виникли з потреб обчислення площ плоских фігур і об’ємів довільних тіл. Але крім цього інтеграл застосовується при вирішенні задач про знаходження площі під кривою, пройденого шляху при нерівномірному русі, маси неоднорідного тіла. Сприяють цьому подвійні та потрійні інтеграли. Ж. Лагранж, займаючись проблемою притягнення сферичних тіл, прийшов до потрійних інтегралів і розглядав питання про перетворення змінних для цих інтегралів. Правило заміни змінних в подвійних і потрійних інтегралах було отримане М. В. Остроградським у 1836 р., приблизно одночасно з Г. Якобі. При заміні змінних у кратних інтегралах Г. Якобі вперше впровадив функціональні визначники, які згодом отримали його ім’я – «Якобіан» або «визначник Якобі». Окрім цього існують різні підходи до визначення інтеграла - розрізняють інтеграли Стилтьеса, Рімана, Лебега, та інші.

Застосування подвійних інтегралів

1.1 Площа плоскої фігури.

Якщо в заданній площині буде задана якась фігура, що має форму обмеженої замкнутої області ,то площа цієї фігури , буде знаходитись за такою формулою:

Якщо область обмежена кривою, яка задана в полярній системі координат то площу фігури знаходять за формулою:

Об’єм тіла.

Розглянемо геометричний сенс подвійного інтегралу: припустимо, що функція: , існує у кожній точці , області та задає деяку поверхню. Згідно з загальною концепцією інтегрування, добуток дорівнює нескінченно малому об’єму елементарної частинки тіла. Подвійний інтеграл об’єднує ці нескінченно малі по всій області , у наслідок чого ми отримаємо сумарний об’єм тіла. Об’єм циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі і яке обмежене знизу областю площини а зверху –поверхнею , де функція непреривна та невід’ємна в області знаходится за формулою

1.2 Площа поверхні

Нехай задана поверхня , яка однозначно проектується на область площини . Це означає, що поверхня задається явно і її рівняння:

Припустимо, що в області функція неперервна і має неперервні частинні похідні . Це означає, що поверхня є гладкою, тобто в кожній її точці існую дотична площина, яка змінює своє положення неперервно разом із точкою дотику.

Розіб’ємо область елементарних областей , площі яких дорівнюють відповідно . В кожній елементарній області ) візьмемо точку . Проведемо в точці дотичну площину і розглянемо ту її частину з площею в область (див. рисунок).

Оскільки поверхня  задана рівнянням , то рівняння дотичної площини в точці має вигляд

де – координати нормального вектора площини.

Розглянемо суму:

Позначимо через кут між дотичною площиною до поверхні  в точці і площиною . Тоді

Але дорівнює куту між нормаллю до площини і вектором

Тому:

Таким чином,

Оскільки частинні похідні неперервні в області , то і функція

Також буде неперервною, а, отже, й інтегрованою в області .

то число називають площею поверхні .

Отже, враховуючи означення площі поверхні маємо

1.3 Маса пластини

Нехай на площині матеріальна пластина, яка має форму обмеженої замкненої області , в кожній точці якої густина буде визначатись неперервною функцією . Маса такої пластини буде знаходитись за наступною формулою

1.4 Центр маси пластини. Статичні моменти

За властивостями центру мас знаємо, що механічні характеристики матеріального тіла можна обчислювати, замінюючи тіло матеріальною точкою з масою, що дорівнює масі всього тіла, але розташованої в центрі мас.

Наприклад, так можна обчислити статичні моменти тіла відносно координатних осей:

Де – маса усієї пластини,

Нехай матеріальна пластина в площині матиме форму області , густина пластини в точці дорівнюватиме , де – неперервна функція в області . Координати центра маси пластини визначатимуться наступними формулами:

Величини називаються статичними моментами пластини відносно осі та .