3. Побудова початкового курсу математики.

Матеріал початкового курсу математики побудовано концентрично стосовно питань арифметики. Ідея концентричного розташування матеріалу була запропонована в 1861 р. П.С.Гурє’вим. Однак, в той час вона не була прийнята в школах. Гур’єв виділив два концентри: десяток і сотня, на яких будується система вивчення нумерації та арифметичних дій усіх натуральних чисел.

На той час була прийнята лінійна система розташування матеріалу, яка і зараз є панівною у наукових курсах і була запроваджена Л.П.Магницьким („Арифметика сє речь наука важная”). За лінійною системою спочатку вивчалася нумерація цілих невід’ємних чисел, пізніше арифметичні дії над ними, їх властивості і текстові задачі, які вимагали застосування цих дій. Звичайно, що лінійна система не забезпечувала принципу доступності у навчанні, бо малолітнім дітям під час вивчення нумерації не було доступне поняття класу, розряду.

Відомий методист С.І.Шохор-Троцький відзначав, що концентрична побудова матеріалу дозволяє розширити знання учнів за спіралевидним принципом, де знання про арифметичні дії і їх властивості на кожному новому витку розширюються.

Однак, згідно з структурою класно-урочної системи, де знання здобуваються на певних етапах, цю систему слід вважати не спіралевідною, а концентричною, де обсяг матеріалу на кожному етапі навчання обмежується певним колом, в якому знаходимо як відомості про нумерацію, так і відомості про арифметичні дії.

Концентричну побудову матеріалу запровадили в радянський час, але на різних етапах виділяли різну кількість концентрів: спочатку, так як у П.С.Гур’єва (2 концентри: десяток, сотня); пізніше виділяли 6 концентрів: десяток, другий десяток, сотня, тисяча, мільйон, багатоцифрові числа.

У 1969 р. було виділено 4 концентри, які й досі існують у трирічній початковій школі. Крім цього в трирічній початковій школі у кожному з концентрів вивчаються відомості про величини, алгебраїчний і геометричний матеріал, а починаючи з концентру сотня – відомості про дроби.

Схематично це виглядає так:

У чотирирічній початковій школі зміст початкового курсу майже не відрізняється від змісту для трирічної початкової школи. Лише дещо змінений хронологічний порядок вивчення тем і окремі питання вивчаються поетапно.

Наприклад, якщо в трирічній початковій школі концентр сотня повністю вивчається у першому класі поетапно: 1) числа 11-20; 2) числа 21-100; то в чотирирічній початковій школі концентр другий десяток (числа 11-20) виступає як самостійний, оскільки його вивчають у першому класі. Аналогічно, числа 21-100 також виступають як самостійний концентр сотня. У трирічній початковій школі в концентрі багатоцифрові числа розглядаються числа з класу тисяч і класу мільйонів, тобто розглядаються числа в межах мільярда, а в чотирирічній початковій школі багатоцифрові числа охоплюють матеріал, що стосується лише класу тисяч, тобто в межах мільйона, причому цей концентр в чотирирічній початковій школі розглядається поетапно: чотирицифрові, п’ятицифрові, шестицифрові числа. Схематично структуру в чотирирічній початковій школі можна зобразити так:

Концентрична побудова початкового курсу математики обґрунтована і має дидактичні та психологічні особливості.

Дидактичні особливості розташування матеріалу такі:

І. Концентр „Десяток” виділений окремо тому, що:

 назви чисел цього концентру лежать в основі назв усіх чисел натурального ряду;

 в межах десятка розкривається арифметичний зміст додавання і віднімання і формуються прийоми обчислень, що ґрунтуються на нумерації чисел і складі числа;

 у даному концентрі розкривається принцип побудови натурального ряду чисел методом прилічування по одному;

 в межах десятка вивчається таблиця додавання і віднімання без переходу через десяток.

ІІ. Концентр „Другий десяток” виділений окремо тому, що:

 у даному концентрі відсутня узгодженість між усною і письмовою нумерацією, тобто при називанні числа спочатку вказується кількість одиниць, а потім десятки, але записується спочатку кількість десятків, а потім – одиниць;

 у межах двадцяти вивчається таблиця додавання і віднімання одноцифрових чисел з переходом через десяток, яка доповнює відповідні таблиці в межах десяти і лежать в основі виконання усіх усних і письмових обчислень на наступних етапах навчання.

ІІІ. Концентр „Сотня” виділений окремо тому, що:

 у межах сотні формуються уявлення про розряд, про співвідношення розрядів одиниць, десятків, сотень;

 розкривається позиційний принцип цифри у числі, тобто ті відомості, які узагальнюються у наступних концентрах;

 вивчається таблиця множення одноцифрових чисел і відповідні випадки ділення;

 розглядаються поза табличні прийоми виконання всіх чотирьох арифметичних дій, які узагальнюються у наступних концентрах.

IV. Концентр „Тисяча” виділений окремо тому, що:

 в цьому концентрі діти оволодівають навичками усної і письмової нумерації трицифрових чисел, дістаючи повне уявлення про сотню, як про лічильну одиницю;

 нумерація трицифрових чисел з переходу до тисячі, як одиниці четвертого розряду дає змогу сформувати в учнів чіткі уявлення про перший клас одиниць і наступний за ним, другий клас тисяч, принципи нумерації в якому залишаються такими самими, як і для одиниць, десятків і сотень у першому класі;

 розкриваються прийоми письмових обчислень (початкове ознайомлення).

V. Концентр „Багатоцифрові числа” виділений окремо тому, що:

 в цьому концентрі учні повністю усвідомлюють принцип десяткової нумерації цілих чисел до мільярдів включно;

 засвоєні в попередньому концентрі прийоми усних і письмових обчислень далі застосовуються на розширеному і різноманітному числовому матеріалі;

 в процесі виконання дій над багатоцифровими числами учні розширюють свої знання з теорії: систематизують відомості про основні закони і властивості дій, вивчають правила залежності між їх компонентами і результатами, порядок виконання дій і т. п.

Психологічні особливості концентричної побудови початкового курсу математики.

Оскільки у молодших школярів зовсім не розвинуте абстрактне мислення, а отже за Виготським, діти сприймають навколишній світ образами, і в дітей конкретно-образне сприймання й мислення, то вивчення математики слід починати з невеликим відрізком натурального ряду чисел (десяток), де кожне число легко проілюструвати, змоделювати і на основі чого зробити узагальнення. На менших числах також зручно показати зміст арифметичних дій шляхом маніпулювання з конкретними множинами, де на основі практичних дій формулюються певні абстрактні узагальнення. Після цього слід здійснювати перехід з опорою на здобуті знання до області нових чисел, де ті ж самі відомості піднімають на вищий рівень абстракції.

Рівень розвитку мислитель них операцій учнів низький, а тому, починаючи з перших концентрів, слід дбати про формування в них аналізу, синтезу, співставлення і порівняння, класифікації та систематизації, узагальнення й абстрагування, що дозволить успішно здійснювати навчальний процес на завершальних етапах.