2. Методика опрацювання усних позатабличних випадків множення і ділення в межах 100 і 1000.

Прийоми позатабличного множення та ділення в чотирирічній початковій школі розкриваються на конкретно-образному рівні. Спочатку на основі методу моделювання, а пізніше із застосуванням властивостей множення і ділення суми на число та множення і ділення числа на суму.

Слід добиватись від учнів свідомого виконання прийомів, вимагаючи від них словесного обгрунтування своїх дій, розвиваючи при цьому математичне мовлення, яке супроводжує правильне мислення (слід спочатку подбати про розвиток зовнішнього, а пізніше внутрішнього мовлення).

В межах 100 і 1000 розглядаються наступні позатабличні випадки множення і ділення:

1) множення і ділення, пов’язані з числами 1 і 0, 10 і 100;множення і ділення розрядних чисел на одноцифрове число та множення одноцифрового числа на розрядне число; ділення виду 300 : 20; 600 : 300; 600 : 30;

2) множення двоцифрового числа на одноцифрове і одноцифрового на двоцифрове; множення виду 120 · 3; ділення двоцифрового числа на одноцифрове та ділення виду 360 : 3;

3) ділення двоцифрових і трицифрових чисел на двоцифрове число при одноцифровій частці способом випробування (96; 24; 125; 25);

4) ділення з остачею (табличні випадки).

Розглянемо кожну групу випадків позатабличного множення і ділення.

І група

Перед розкриттям прийомів усного множення і ділення розглядають властивості множення і ділення 0, 1, 10 і 100.

Множення чисел 1 і 0 розкривають на основі поняття дії множення як додавання однакових доданків. Учитель пропонує заміною множення додаванням обчислити значення виразів 1 · 3 і 1 · 5;

1 · 3 = 1 + 1 + 1 = 3

1 · 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

учні бачать, що при множенні 1 на яке-небудь число у добутку дістаємо число, на яке множили 1. Після цього формулюють правило: “Добуток 1 і будь-якого числа дорівнює цьому числу”.

1 ·а = а

Множення довільного числа на 1 слід рокрити, спираючись на переставну властивість множення і формулюють правило: “Добуток будь-якого числа і 1 дорівнює цьому самому числу”.

а · 1 = а

5 · 1 = 1 · 5 = 5

Аналогічно розкриваються властивості множення з нулем:

0 · 3 = 0 + 0 + 0 = 0

Формулюють правило: “Добуток нуля і будь-якого числа дорівнює нулю”

0 · а = 0

Так само розглядають випадок множення будь-якого числа і 0:

а · 0 = 0

3 · 0 = 0 · 3 = 0

Дві останні властивості можемо узагальнити в таку: “Якщо один із множників дорівнює нулю, то і добуток дорівнює нулю”.

Для з’ясування правила ділення виду 7 : 1 і 6 : 6 треба скористатися зв’язком дій множення і ділення, тобто скласти приклади на ділення з прикладу на множення.

1 · 7 = 7

7 : 1 = 7

7 : 7 = 1

Що дістаємо в частці від ділення числа на 1? Що дістаємо в частці від ділення числа на самого себе? Наведіть власні приклади ділення на 1 і ділення числа на самого себе.

Записують правила за допомогою буквенних записів:

а : 1 = а

а : а = 1

Ділення нуля пояснюють на основі зв’язку дій множення і ділення:

0 · 4 = 0; 0 : 4 = 0

Формулюють правило: “При діленні нуля на будь-яке число в частці дістаємо нуль”.

0 : а = 0

Про неможливість ділення на нуль слід повідомити так: ділити на нуль не можна. Наприклад, не можна 7 поділити на 0, бо немає такого числа, при множенні якого на 0 дістали б 7.

Далі розглядаються прийоми множення та ділення 10 та 100.

Множення числа 10 і 100 пояснюють, переходячи до десятка або до сотні:

10 · 3 = 

1 десяток · 3 = 3 десятка

10 · 3 = 30

100 · 3 = 

1 сотня · 3 = 3 сотні

100 · 3 = 300

На основі розв’зування системи вправ методом спостережень та отриманих результатів формулюють правило: “Щоб помножити 10 на довільне число, потрібно справа від нього дописати один нуль; щоб помножити 100 на довільне число – потрібно справа дописати два нулі”.

При множенні чисел на 10 і 100 застосовують переставну властивість дії множення. Наприклад:

2 · 10 = 

2 · 10 = 10 · 2

10 · 2 = 20 Отже, 2 · 10 = 20

5 · 100 = 

5 · 100 = 100 · 5

100 · 5 = 500 Отже, 5 · 100 = 500

Дістаємо таке правило: “Щоб помножити число на 10, потрібно справа в числі приписати один нуль; щоб помножити на 100, в числі потрібно приписати два нулі”.

Виведемо правило ділення на 10 і 100. З прикладу на множення утворимо приклад на ділення і звертаємо увагу на те, що при діленні круглого числа на 10 достатньо відкинути один нуль, а при діленні на 100 – два нулі.

4 · 10 = 40 4 · 100 = 400

40 : 10 =  400 : 100 = 

4 дес. : 1 дес. = 4 4 сот. : 1 сот. = 4

40 : 10 = 4 400 : 100 = 4

Даний прийом слід змоделювати та пов’язати з використанням змісту дії ділення на вміщення.

З попередніми прийомами пов’язані прийоми ділення круглих чисел на одноцифрові числа. Дані прийоми пояснюються також за допомогою моделювання і спираються на зміст дії ділення на рівні частини:

40 : 4 =  400 : 4 = 

4 дес. : 4 = 1 дес. 4 сот. : 4 = 1 сот.

40 : 4 = 10 400 : 4 = 100

На наступних уроках вивчаються прийоми множення і ділення розрядних чисел на одноцифрове та множення одноцифрового числа на розрядне число (прикладу виду 30 · 3; 300 · 3; 60 : 3; 800 : 4; 3 · 20; 4 · 200).

Обчислення прикладів виду 30 · 3 і 300 · 3 виконують способом переходу до десятків і сотень:

30 · 3 =  300 · 3 = 

3 дес. · 3 = 9 дес. 3 сот. · 3 = 9 сот.

30 · 3 = 90 300 · 3 = 900

Дані прийоми зводяться до табличних прийомів множення.

Паралельно розглядаються прийоми ділення на одноцифрове число:

60 : 3 =  800 : 4 = 

6 дес. : 3 = 2 дес. 8 сот. : 4 = 2 сот.

60 : 3 = 20 800 : 4 = 200

Прийоми ділення розрядних чисел на одноцифрове число зводяться до табличних прийомів ділення.

Для обчислення виразів виду 3 · 20; 4 · 200 використовують переставну властивість або спосіб послідовного множення.

3 · 20 = 3 · 2 · 10 = 6 · 10 = 60

4 · 200 = 4 · 2 · 100 = 8 · 100 = 800

Перед застосуванням способу послідовного множення учням треба показати запис розрядних чисел у вигляді добутку (20 = 2 · 10; 200 = 100 · 2) і повторити переставну властивість дії множення.

Останніми в І групі розглядаються прийоми ділення круглого числа на кругле число. Перед розглядом даного прийому учнів ознайомлюють з властивістю ділення числа на добуток.

Обчислимо вираз: 24 : (3 · 2)

Застосовуємо правило обчислення виразів з дужками:

24 : (3 · 2) = 24 : 6 = 4

Розглянемо інший спосіб ділення числа на добуток двох чисел:

24 : (3 : 2) = (24 : 2) : 3 = 12 : 3 = 4

24 : (3 : 2) = (24 : 3) : 2 = 8 : 2 = 4

Шляхом розв’язування прикладів такого типу формулюють властивість ділення числа на добуток: “Щоб поділити число на добуток можна: 1) поділити це число на знайдений добуток; 2) поділити це число на перший (другий) множник і знайдену частку поділити на другий (перший множник)”.

Після ознайомлення з цим правилом пропонується наступна система вправ:

1) Виконати обчислення двома способами:

18 : (2 · 3); 80 : (4 · 2); 900 : (3 · 3).

2) Обчислити зручним способом:

36 : (9 · 2); 72 : (3 · 8);

60 : (10 · 2); 400 : (10 · 5).

3) Виконати ділення, розкладаючи дільник на множники:

48 : 16; 72 : 36; 80 : 40; 64 : 16;

(54 : 18 = 54 : (9 · 2) = 6 : 2 = 3).

Прийом ділення круглого числа на кругле розкривається з опорою на вище сформульовану властивість і на зміст дії ділення на вміщення.

І сп.: 80 : 20 = 80 : (2 · 10) = (80 : 10) : 2 = 8 : 2 = 4

ІІ сп.: 80 : 20 = 

8 дес. : 2 дес. = 4

80 : 20 = 4

Даний спосіб розв’язання доцільно змоделювати і переконати учнів, що частка – це число, що вказує скільки разів по 2 десятки вміщується у 8 десятках; найменування частки не може співпадати з найменуванням діленого і дільника.

Слід показати учням і спосіб випробування.

ІІІ сп.: 20 · 2 = 40 (число 2 не підходить);

20 · 3 = 60 (число 3 не підходить);

20 · 4 = 80 (число 4 підходить).

ІІ група

Перед вивченням усного множення двоцифрового числа на одноцифрове розглядають властивість множення суми на число. Дана властивість розкривається на основі конкретної сюжетної задачі: “Дівчинка складала букети. Вона брала 3 білі й 2 червоні квітки. Скільки всього квіток у 7 букетах?”

3 біл. кв.

2 черв. кв. 1 букет ? кв. - 7 букетів.

Розв’язати дану задачу можна двома способами:

І спосіб:

1) 3 + 2 = 5 (кв.) – в одному букеті;

2) 5 · 7 = 35 (кв.) – в 7 букетах.

(3 + 2) · 7 = 5 · 7 = 35 (кв.)

ІІ спосіб:

1) 3 · 7 = 21 (кв.) – білих квіток в 7 букетах;

2) 2 · 7 = 14 (кв.) – червоних квіток в 7 букетах;

3) 21 + 14 = 35 (кв.) – разом квіток в 7 букетах.

( 3 · 7) + (2 · 7) = 21 + 14 = 35 (кв.)

Учні пояснюють про що дізнавались кожною дією при розв’язуванні задачі першим і другим способом.

Розв’язавши задачу слід наголосити на виділених виразах, які приводять до висновку:

“Помножити суму на число можна двома способами: 1) обчислити суму й помножити отриманий результат на число; 2) помножити кожний ж доданків на число й скласти отримані результати”.

Закріплення цієї властивості досягається розглядом системи вправ:

1) Знайдіть добутки двома способами: (3 + 7) · 4; (5 + 2) · 3.

2) Розв’яжіть зручним способом: (5 + 7) · 4; (20 + 7) · 3.

3) Знайдіть добутки, обчислюючи спочатку значення виразу в дужках:

(2 + 7) · 4; (3 +6) · 5; (8 + 7) · 3.

Особлива увага звертається на другому способі множення суми на число, адже на цій властивості грунтується прийом множення двоцифрового числа на одноцифрове.

Прийом розглядають за допомогою моделей лічильних одиниць і властивості множення суми на число (двоцифрове число замінюють сумою розрядних доданків). У класі вивішують таблицю:

24 : 3 = 

20 4

20 · 3 = 60

4 · 3 = 12

60 + 12 = 72

24 · 3 =72

Прийом множення одноцифрового числа на двоцифрове розкривають на основі властивості множення числа на суму або на основі переставної властивості множення.

Властивість множення числа на суму є теоретичною основою множення багатоцифрового числа на дво- і трицифрове число.

Дану властивість також розкривають на основі текстової сюжетної задачі: “На змаганнях у першому запливі було 4 човни по 8 спортсменів у кожному. У другому запливі було 3 човни, теж по 8 спортсменів у кожному. Скільки всього спортсменів брали участь у двох запливах?”

	В одному човні	Кількість човнів	Всього спортсменів
І	8 спортсменів	4	?
ІІ		3

Розв’язують задачу двома способами:

І спосіб:

1) 4 + 3 = 7 (ч.) – всього човнів;

2) 8 · 7 = 56 (сп.) – всього спортсменів.

8 · (4 + 3) = 8 · 7 = 56 (сп.)

ІІ спосіб:

1) 8 · 4 = 32 (сп.) – спортсменів у 4 човнах;

2) 8 · 3 = 24 (сп.) – спортсменів у 3 човнах;

3) 32 + 24 = 56 (сп.) – всього спортсменів.

8 · 4 + 8 · 3 = 32 + 24 = 56 (сп.)

Учні констатують, що для розв’язування задачі першим способом треба число 8 помножити на суму чисел 4 і 3. За другим способом число 8 множимо окремо на числа 4 і 3. Відповідь однакова – 56 спортсменів. Отже, 8 · (4 + 3) = 8 · 4 + 8 · 3.

На основі цього робиться висновок: “Щоб помножити число на суму використовують два способи: 1) обчислимо суму та помножимо число на отриманий результат; 2) помножимо число на кожний з доданків і складемо отримані результати”.

З опорою на дану властивість розкривають прийом усного множення одноцифрового числа на багатоцифрове. На вивчення цієї теми відводиться два уроки. На першому уроці добуток одно- і двоцифрових чисел учні знаходять, застосовуючи переставну властивість множення. На другому уроці вчаться застосовувати правило множення числа на суму для знаходження такого добутку. Для пояснення використовують таблицю:

3 ·24 = 

20 4

3 · 20 = 60

3 · 4 = 12

60 + 12 = 72

3 · 24 =72

Спираючись на таблицю формулюється загальне правило множення одноцифрового числа на двоцифрове: “Щоб помножити одноцифрове число на двоцифрове, потрібно двоцифрове число розкласти на суму розрядних доданків і помножити спочатку число на десятки, а потім на одиниці і одержані добутки додати”.

Випадки усного множення і ділення в межах 1000, які зводяться до табличних або спираються на правило множення суми на число, розглядають у порядку закріплення. До таких випадків належать знаходження значень виразів виду: 70 · 8; 420 : 6; 320 · 3. Наведемо записи кожного виду.

70 · 8 =  420 : 3 = 

7 дес. · 8 = 56 дес. 42 дес. : 6 = 7 дес.

70 · 8 = 560 420 : 6 = 70

Дані прийоми розглядаються паралельно і зводяться до табличних прийомів множення та ділення.

320 · 3 = (300 + 20) · 3 = 300 · 3 + 20 · 3 = 900 + 60 = 960

У даному випадку використовують властивість множення суми на число.

На наступних уроках розглядається прийом ділення двоцифрового числа на одноцифрове.

Цей прийом грунтується на властивості ділення суми на число. Дану властивість розкривають шляхом розв’язування конкретної сюжетної задачі: “18 червоних і 12 жовтих слив батько поділив порівну між трьома синами. Скільки слив одержав кожний син?”

1 8 черв. слив

3 синам ? слив – 1

12 жовт. слив

Задачу розв’язують двома способами:

І спосіб:

1) 18 + 12 = 30 (сл.) – всього слив;

2) 30 : 3 = 10 (сл.) – одержав кожний син.

(18 + 12) : 3 =10 (сл.)

ІІ спосіб:

1) 18 : 3 = 6 (сл.) – червоних слив одержав кожний син;

2) 12 : 3 = 4 (сл.) – жовтих слив одержав кожний син;

3) 6 + 4 = 10 (сл.) – всього одержав кожний син.

18 : 3 + 12 : 3 = 6 + 4 = 10 (сл.)

На основі розв’язку даної задачі формулюють правило ділення суми на число: “Поділити суму на число можна двома способами: 1) обчислити суму й поділити отриманий результат на число; 2) кожний з доданків поділити на число й скласти отримані результати”.

Прийом ділення двоцифрового числа на одноцифрове полягає в розкладанні числа на зручні доданки з наступним застосуванням правила ділення суми на число. Учні послідовно розглядають такі випадки ділення: 39 : 3; 72 : 3; 50 : 2.

Враховуючи конкретно-образний характер дитячого сприймання і мислення, дані прийоми доцільно змоделювати лічильними одиницями і на основі записати відповідні алгоритми.

На перших уроках по вивченню даних прийомів добирають такі приклади на ділення, коли число, яке ділиться, розкладалося на розрядні доданки і при діленні їх на число використовувалися б табличні випадки ділення.

Наприклад:

39 : 3 = 

30 9

30 : 3 = 10

9 : 3 = 3

10 + 3 = 13

39 : 3 = 13

Формулюють правило: “Щоб поділити двоцифрове число на одноцифрове, потрібно окремо поділити десятки і одиниці на це число і отримані частки додати”.

Пізніше розглядаються приклади на ділення, де розглянутий вище прийом застосовувати не можна: 56 : 4; 72 : 3; 78 : 6 та ін.

Вказані випадки ділення також грунтуються на властивості ділення суми на число і вимагають моделювання. “Зручність” доданків виявляється в тому, що при діленні першого доданка дістаємо десятки, а при діленні другого – одиниці.

72 : 4 = 

40 32

40 : 4 = 10

32 : 4 = 8

10 + 8 = 18

72 : 4 = 18

Формулюють правило: “Щоб поділити двоцифрове число на одноцифрове, потрібно двоцифрове число замінити сумою зручних доданків, з яких перший є результатом найбільшого табличного множення на дільник, після чого ділять кожен з доданків на число і одержані частки додають”.

За даним правилом розв’язують інші приклади:

72 : 3 = (60 + 12) : 3 = 20 + 4 = 24

78 : 6 = (60 + 18) : 6 = 10 + 3 = 13

50 : 2 = (20 + 20 + 10) : 2 = (40 + 10) : 2 = 20 + 5 = 25

Зразок ділення двоцифрового числа на одноцифрове служить і при діленні круглих трицифрових чисел. Це здійснюється переходом до ділення десятків.

3 60 : 3 = 

36 дес. : 3 = 12 дес.