Теоремы о полноте.

Лемма 1.

О немонотонных функциях.

Если не монотонна, то подстановкой констант можно получить отрицание. Точнее из n-1 констант.

Пусть f не монотонна:. Если и отличаются k компонентами, то в в k стоят 0, а в в k стоят 1.

Будем заменять в 0 на 1 по одной.

Возьмём .

Пусть и отличаются в i-ой компоненте. Тогда .

Подставим в f и .



Лемма 2.

О нелинейных функциях.

Если БФ нелинейна, то с помощью подстановки констант и использования отрицаний можно получить и , т. е. существует представление и в виде суперпозиции констант, отрицаний и самой функции f.

Пусть f нелинейна, тогда её полином Жегалкина содержит конъюнкцию переменных .

Пусть , а все .

Тогда, подставив константы в полином Жегалкина, останутся . Т. о. функция имеет вид , где – константы 0 или 1. Т. о. получаем таблицу:

				Вид полинома	Эквивалентная БФ	Искомая суперпозиция
	0	0	0
	0	0	1
	0	1	0
	0	1	1
	1	0	0
	1	0	1
	1	1	0
	1	1	1

В последнем столбце искомое представление в виде конъюнкции или дизъюнкции.

Пример.

Важны места в функции, а именно 1-ое и 3-е.

Схема реализации функции: номера мест – номера входов в схему. Две леммы позволяют получить все булевы операции с помощью нелинейных, немонотонных, и констант 0 и 1. Это ещё не полнота в сильном смысле.

Лекция № 4. Теоремы о полноте (продолжение).

Определение 1.

Система функций называется функционально полной в слабом смысле, если любая БФ может быть представлена , т. е. может быть представлена суперпозицией констант 0, 1 и функций из .

Теорема 1.

О функциональной полноте в слабом смысле.

Для того чтобы система функций была функционально полной в слабом смысле необходимо и достаточно, чтобы она содержала хотя бы одну немонотонную и хотя бы одну нелинейную функцию.

Если не содержит немонотонных и нелинейных функций, то их нельзя получить с помощью суперпозиции из .

Пусть содержит немонотонную и нелинейную функцию. Тогда по лемме 1 получаем отрицание, а из леммы 2 получаем необходимые дизъюнкции и конъюнкции.

Пример.

0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Нелинейная и немонотонная функция.

Утверждение 1.

Класс самодвойственных функций является замкнутым.

Пусть и самодвойственны.

Подставим в вместо :

, т. е. g тоже замкнута.

Теорема 2.

Поста (в сильном смысле).

Для того чтобы система была функционально полной в сильном смысле необходимо и достаточно, чтобы она содержала:

1. Функцию, не сохраняющую ноль.

2. Функцию, не сохраняющую единицу.

3. Нелинейную функцию.

4. Немонотонную функцию.

5. Самодвойственную функцию.

Следует из замкнутости всех пяти классов.

Если не самодвойственна, то подстановкой и можно получить константу:

Тогда функция .

1. Пусть теперь не сохраняет 0, а не сохраняет 1. не самодвойственна.

есть 1. по определению.

2. Если , то , так как по определению и .

Тогда из подстановкой и получаем , являющуюся константой.

Используя ещё раз получаем другую константу.

Таким образом .

Этого достаточно для получения константы 0 и 1.

Таким образом, используя получение 0 и 1 и теорему о слабой полноте, получили теорему о сильной полноте. 