МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Лекции
Математическая логика
4 Семестр
Лектор Вагин Вадим Николаевич
Москва, 2009/2010
Лекция № 1. Булевы функции (фал).
Рассмотрим множество
.
Фиксированный
набор будем обозначать
.
Их число
.
Рассмотрим множество
.
Определение 1.
Функция, дающая
однозначное отображение
называетсябулевой
или функцией
алгебры логики
(ФАЛ).
Теорема 1.
Число булевых
функций, зависящих от n
аргументов, равно
.
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
0 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
Элементарные булевы функции.
Функции-константы:
Функции одного переменного:
|
x |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конъюнкция |
дизъюнкция |
импликация |
эквивалентность би-импликация |
сложение по модулю 2 |
стрелка Пирса |
штрих Шеффера |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Определение 2.
Функция F,
полученная
из множества функций 
называется суперпозицией
этих функций,
если она получена с применением двух
правил: переименованием аргументов и
подстановкой функций вместо аргументов.
Выражение одних булевых функций через другие.
Утверждение 1.
Закон де Моргана.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Утверждение 2.
Аналог законов де Моргана.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Свойства.
Коммутативность:
НО! 
Ассоциативность:
НО! 
Дистрибутивность:
Аналитическая запись булевых функций.
Рассмотрим фиксированный набор элементов
,
.
,
.
Рассмотрим функцию
Назовём 
характеристической
функцией единицы.
Теорема 2.
–множество наборов
аргументов, на которых f
принимает значение 1.
Пусть имеем
фиксированный набор
,
для которого F
= 1. Значит, что среди всех 
существует такая, чей индекс i
совпадает с номером набора значений
аргумента.
Пусть имеем
фиксированный набор
,
для которого F
= 0. Значит, что среди всех 
нет ни одной, чей индекс i
совпадает с номером набора значений
аргумента.
Определение 3.
Введём понятие
степени
аргумента
Рассмотрим
конъюнкцию 
.
Рассмотрим 4 случая:
Теорема 3.
Любая ФАЛ кроме константы 0 может быть представлена в виде
Такое представление функции называется СДНФ (совершенная дизъюнктивная нормальная форма).
Алгоритм получения СДНФ:
Выбираем те наборы, на которых f = 1.
Выписываем конъюнктивные наборы, причём
Объединяем все конъюнкции дизъюнкциями.
Пример.
|
|
|
|
| |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
