Аналитическая запись булевых функций через стрелку Пирса.

0	0		0	0	1	1
0	0		0	1	0	1
1	1		1	0	0	1
1	1		1	1	0	0

–множество номеров наборов аргументов, на которых или .

Теорема 6.

Любая ФАЛ кроме константы 1 может быть представлена в виде

Алгоритм получения совершенной нормальной формы для стрелки Пирса:

1. Выбираем те наборы, на которых f = 0.

2. Выписываем наборы со стрелками Пирса, причём

3. Объединяем все наборы стрелками Пирса.

Пример.

0	0	0	0	
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0	
1	0	0	0	
1	0	1	1
1	1	0	0	
1	1	1	1

Замечание.

Если функция принимает значение 0 только на одном наборе, то берём отрицание.

Лекция № 3. Классы булевых функций.

1. Класс булевых функций, сохраняющих константу 0.

Их число – половина от общего числа БФ, т. е. .

2. Класс булевых функций, сохраняющих константу 1.

3. Класс самодвойственных функций.

4. Линейные функции.

5. Монотонные функции.

Определение 1.

Функция называется двойственной с функцией , если .

Определение 2.

Функция называется самодвойственной, если она двойственна к самой себе.

Определение 3.

Функция называется линейной, если , где . Конъюнкция и дизъюнкция не линейные функции.

Определение 4.

Рассмотрим два набора значений аргументов . Функция называется монотонной, если для любых наборов , т. е. , .

Полная система функций.

Определение 5.

Система булевых функций называется полной в некотором классе R, если любая функция может быть представлена суперпозицией .

Пример.

Полную систему назовём базисом. Удаление любой функции из базиса приведёт к разрушению системы.

Минимальные базисы:

1. 

2. 

3. 

4. 

Определение 6.

Множество M – замкнутый класс, если любая суперпозиция функций снова принадлежит M.

Множество линейных функций – замкнутый класс.

Теорема 1.

Всякая булева функция, не содержащая отрицаний, представляет собой монотонную функцию (не константа). И наоборот: для любой монотонной функции (не константы) существует булева функция без отрицаний.

Пусть имеем БФ без отрицаний. Приведём её к ДНФ.

Возьмём набор аргументов .

Пусть , тогда

Теперь рассмотрим набор .

Условие монотонности выполняется.

f – монотонная БФ, отличная от 0 и 1. Она имеет ДНФ. Все содержащиеся в ДНФ конъюнкции будем называть импликантами. Пусть в этой функции существует импликант вида , где K – все остальные элементы конъюнкции. Тогда на любом наборе, в котором , .

получается из .

Таким образом, также будет импликантой.

не может быть простой импликантой, т. е. все конъюнкции без отрицания.

Теорема 2.

Множество любых монотонных функций есть замкнутый класс.

Следует из предыдущей теоремы, т. к. подстановка формулы без отрицаний в формулу без отрицаний даст формулу без отрицаний.

Следствие 1.

Класс монотонных функций – замыкание системы . Любая БФ – суперпозиция .