Лекция № 2. Булевы функции (фал).
Теорема 1.
Любая ФАЛ кроме константы 0 может быть представлена в виде
Такое представление функции называется СПНФ (совершенная полиномиальная нормальная форма).
Алгоритм получения СПНФ:
Выбираем те наборы, на которых f = 1.
Выписываем конъюнктивные наборы, причём
Объединяем все конъюнкции логической связкой
.
Пример.
|
|
|
|
| |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Теорема 2.
Любая ФАЛ кроме константы 1 может быть представлена в виде
Такое представление функции называется СКНФ (совершенная конъюнктивная нормальная форма).
Возьмём произвольную ФАЛ и представим её в СДНФ:
Применим операцию отрицания к равенству.
Алгоритм получения СКНФ:
Выбираем те наборы, на которых f = 0.
Выписываем дизъюнктивные наборы, причём
Объединяем все наборы конъюнкцией.
Пример.
|
|
|
|
| |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Характеристическая функция нуля.
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Теорема 3.
Любая ФАЛ кроме константы 1 может быть представлена в виде
Такое представление функции называется САПНФ (совершенная анти полиномиальная нормальная форма).
Алгоритм получения САПНФ:
Выбираем те наборы, на которых f = 0.
Выписываем дизъюнктивные наборы, причём
Объединяем все наборы эквивалентностями.
Пример.
|
|
|
|
| |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Теорема 4.
Любая ФАЛ кроме константы 1 может быть представлена в виде
Такое представление функции называется СИНФ-1 (совершенная импликативная нормальная форма 1 рода).
Алгоритм получения СИНФ-1:
Выбираем те наборы, на которых f = 0.
Выписываем импликативные наборы, причём
Объединяем все наборы конъюнкциями.
Пример.
|
|
|
|
| |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Теорема 5.
Любая ФАЛ кроме константы 0 может быть представлена в виде
Такое представление функции называется СИНФ-2 (совершенная импликативная нормальная форма 2 рода).
Алгоритм получения СИНФ-2:
Выбираем те наборы, на которых f = 1.
Выписываем импликативные наборы, причём
Объединяем все наборы дизъюнкциями.
Пример.
|
|
|
|
| |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
