1 Стандартное отклонение

Рис. 7 (а), (b) и (c) Свойства кривой стандартного нормального распределения

4 . Для нашего последнего примера см. рис. 8. Здесь нужно найти площадь под кривой между х = 1.50 и х = –2.00. Площадь, которую нужно найти, включает сумму площадей 'A' и 'B'. Используя обозначение Φ, площадь может быть определена как:

Площадь В

Кривая стандартного нормального распределения

Площадь А

Рис. 8. Нахождение площади (см. пример 4)

Вероятность того, что событие будет лежать между х = –2.0 и х = 1.5 представлена закрашенной областью под кривой стандартного нормального распределения между этими двумя значениями.

ВЕРОЯТНОСТИ И КРИВАЯ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

После проработки приведенных выше примеров, вы можете спросить себя: «Для чего это нужно?» Ответ на этот резонный вопрос в том, что эта кривая позволяет вычислить вероятность событий, происходящих на практике.

Вероятность того, что событие может произойти, когда переменная описывается кривой нормального распределения, определяется площадью под кривой слева от выбранного значения. Таким образом, вероятность того, что результат будет меньше заданного значения х равна площади под кривой слева от величины х. Аналогично, вероятность того, что результат будет больше, чем значение х, равно площади справа от значения х.

Вероятность того, что результат будет лежать между двумя заданными значениями х, равна площади между этими двумя значениями. Будет яснее, если вы обратитесь снова к рисунку 8.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТАБЛИЦ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

До сих пор мы брали значение х и смотрели соответствующую площадь в таблице. Тем не менее, могут быть случаи, где нужно работать в обратном направлении. Предположим, мы хотим знать, при каком значении x с вероятностью 85%, что результат будет меньше, чем х. В таком случае нужно найти значение в таблице, пока не встретится самое ближайшее к 0.85 значение, ему и будет соответствовать требуемое значение x.

Ближайшим значением меньше 0.85 является 0.8485. Ему соответствует 1.03. Тем не менее, значение 0.0015 слишком мало, нужно найти в столбце разницу для ближайшего значения к 0.0015 (который мы понимаем, как '15 '). Ближайшее значение – 16, что дает цифру '7 '; поэтому окончательным ответом будет 1.03 + 0.007, что дает окончательное значение х = 1,037.

ПРАКТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

У стандартной кривой нормального распределения есть симметрия относительно оси у, и площадь под кривой равна единице. На практике кривые нормального распределения имеют симметрию относительно осей отличных от оси ординат, а площадь под кривой редко равна единице.

Рассмотрим, как работать с такими практическими задачами.

Рассмотрим процесс, где станок отрезает пруток от заготовки. Каждый отрезанный пруток тщательно проверяется на соответствие длины. Пусть было отрезано 1000 штук, средняя длина составляет 1.012 метров и 72 части более 1.015 метров в длину. Необходимо вычислить:

(а) вероятность того, что следующая часть имеет длину менее 1.008 метров.

(б) вероятное количество штук, которые будут менее 1.008 м в следующих 1000 штуках, если предположить, что станок не прекращает работать.

(а) Во–первых, из приведенной выше информации, мы знаем, что вероятность того, что пруток будет более 1.015 м:

Вероятность

На рисунке показана площадь справа от х = 1.015.

Вероятность в закрашенной области равна 0.072 (об этом говорилось выше).

Для получения вероятности слева от x, нужно вычесть 0.072 из 1.000, что даст 0.928. Далее в таблице находим, что 0.928 соответствует значению столбца 1.461. Это стандартизированное значение z, соответствующее 1.015, а действия, проделанные сейчас, показывают, что процесс стандартизации использует исходные данные нормального распределения и преобразует их в данные стандартного нормального распределения (где площадь под кривой равна 1), поэтому можно использовать значения из таблиц для стандартной формы.

Для того чтобы получить величину стандартного отклонения σ, можно подставить значение z = 1,461 в формулу

где х – значение переменной

μ – среднее

σ – стандартное отклонение

z – стандартизированное значение.

откуда находим, что σ = 0.00205 метров.

Теперь нужно рассчитать значение z, соответствующее 1.008, по той же формуле. Обратиться к таблицам для стандартной кривой нормального распределения.

Находим

Таким образом, вероятность того, что следующая часть прутка будет менее 1.008 метров представлена площадью слева от значения z = –1,951 (см. рис). В таблице есть только положительные значения, поэтому нужно использовать симметричные свойства кривой. Мы можем видеть, что площадь слева от –1,951 такая же, как и площадь справа от 1.951, поскольку распределение симметрично.

Площадь справа от 1.951 равна 1.000 минус площадь слева 1.951. Площадь слева от 1.951 равна 0.9745. Таким образом, площадь справа от 1.951 = 1 – 0.9745 и это даст 0.0255. Это равно площади слева от –1,951, что эквивалентно вероятности того, что следующий пруток будет меньше 1.008 метров в длину.

Можно преобразовать это в проценты, умножив результат на 100, что даст нам 2.55%.

(б) Теперь мы знаем, что вероятность того, что следующая часть будет меньше 1.008 м равна 2.55% и, если мы рассмотрим следующие тысячу штук, число, вероятно, будет меньше 1.008 и будет равно:

Поскольку число прутков целое, округляем результат до 26.