99.7% Лежат в ± 3σ
95.4% Лежат в ± 2σ
68,3% Лежат в ±1σ
Рис. 4. Площади, лежащие в интервалах
± 1 стандартное отклонение
± 2 стандартных отклонения
± 3 стандартных отклонения
для кривой нормального распределения
Нормальные кривые распределения всегда симметричны, но не обязательно симметричны относительно оси у, как было на рис.2. Особый случай стандартной кривой нормального распределения, который был показан на рис. 3, используется при оценке вероятности произошедшего события.
Для этих целей созданы таблицы, в которых представлены площади под стандартной кривой нормального распределения при определенных условиях (см. Таблицу 1).
Статистическая
таблица
Нормальное
распределение – значения Φ (z) = p
р, в в диапазоне
N (0, 1) меньше х.
В таблице приведены
вероятности распределения случайной
величины р, в диапазоне N (0, 1)
меньше х.
Различия
незначительны
Таблица 1.
В практических случаях, где нужно найти вероятность произошедшего события, нужно преобразовать кривые нормального распределения в стандартную кривую нормального распределения. Это преобразование называется стандартизацией, она будет рассмотрено далее в этом занятии.
Сначала рассмотрим, как использовать таблицы вероятностей. Посмотрите на рисунок 5. Здесь вероятность того, что произойдет определенное событие, задается площадью под стандартной кривой нормального распределения, слева от значения х и будет меньше площади всей фигуры х (область закрашена). Как показано в таблице 1 и предполагая, что х = 1.1, ищем значение по вертикали в левой колонке, пока не найдем 1.1, и смотрим число 0.8643 напротив этого значения в таблице. Таким образом, вероятность того, что значение случайной величины будет меньше, чем 1.1 и равна 0,8643 или 86,43%.
Кривая стандартного
нормального распределения
Закрашенная
площадь "Φ (х)"
Рис. 5. Площадь под кривой нормального распределения (положительное значение х)
Вероятность того, что событие будет больше, чем 1.1 отражает площадь под кривой справа от значения х = 1.1 (незаштрихованная область). Так как вся площадь под кривой стандартного нормального распределения равна 1.000, площадь справа от значения 1.1 равна 1 минус область слева от значения 1.1. Мы уже знаем, что площадь слева от х = 1.1 (см. выше), таким образом, искомая площадь равна 1.000 – 0.8643 и равна 0.1357.
Таким образом, вероятность того, что событие будет больше, чем 1.1 равна 0.1357 или 13.57%.
РАСЧЕТ КРИВОЙ СТАНДАРТНОГО НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Площадь под кривой стандартного нормального распределения, слева от значения х обычно обозначается греческой буквой Φ (фи)
Н
а
рис.5 площадь Φ
(х)
закрашена.
В таблицах есть
вероятности
для положительных
значений х,
но, так как
кривая полностью
симметрична, а
общая площадь под
стандартной
кривой нормального
распределения
равна
1.000,
площади для
отрицательных
значений
аналогичны.
Продемонстрируем
это на рис. 6.
Площадь С
Кривая стандартного
нормального распределения
Площадь А
Площадь B
Рис. 6. Равные площади под кривой стандартного нормального распределения
В силу симметрии площадь А, очевидно, равна площади B. Площадь А определяется Φ (–х). Кроме того, площадь B равна площади под кривой (единице) минус суммы площадей А и С.
Площадь А + Площадь С = Φ (х)
и Площадь B = Φ (–х)
Кроме того, Площадь B = 1 – (Площадь А + Площадь С) = 1 – Φ (х)
Таким образом, можем записать:
Φ (–x) = 1 – Φ
Рассмотрим ряд случаев, чтобы показать, как используются эти принципы.
1. Когда х = 0, вся площадь под кривой слева от этого значения равна 0.500. Это верно, так как вся площадь под кривой равна 1.000, а кривая симметрична относительно оси у. См. рис. 7 (а).
2. Когда х = 1.0, как на рис.7 (b), отложим одно стандартное отклонение справа от оси ординат. Предположим, что нужно узнать площадь между х = 1.00 и осью ординат, (заштрихована). Площадь слева от х = 1.00 равна 0.8413. Однако, так как площадь слева от оси ординат равна 0.500, площадь между осью у и х = 1.00 определяется по формуле:
Φ (1.00) – Φ (0.00) = 0.8413 – 0.500 = 0.3413
Если удвоить это значение, получим площадь под кривой между плюсом и минусом одного стандартного отклонения:
Φ (1.00) – Φ (–1.00) = 2 × 0.3413 = 0.6826 или 68.26%
от общей площади.
Мы уже знаем этот результат, но, если обратиться к рис. 4, мы увидим, что 68,3% от общей площади под кривой нормального распределения лежит в пределах плюс – минус одно стандартное отклонение, которое согласуется с табличным значением.
3. Найдем площадь справа от х = 1, как показано на рис. 7 (с). Площадь слева от этого значения равна 0.8413. Но общая площадь под кривой 1.000. Таким образом, площадь справа от х = 1.000 определяется по формуле:
1
.000
– Φ (1.00) = 1.000 – 0.8413 = 0.1587
Площадь А
Площадь В