Системы массового обслуживания с неограниченной очередью

Задача 5.

В диспетчерской крупной брокерской фирмы 4 диспетчера. Диспетчер передает информацию в среднем за 20 секунд. Вся поступающая информация неограниченно скапливается в единой базе до момента передачи. Вовремя (сразу) переданное сообщение приносит прибыль 2 руб. с сообщения, задержка в передаче сообщения приносит убытки в среднем по 50 копеек за минуту задержки. За час в диспетчерскую поступает в среднем 630 информационных сообщений. Зарплата диспетчера равна 15000 руб. в месяц. Рабочее время – 10 часов, в месяце 22 рабочих дня.

Определить параметры работы системы и прибыль компании. Определить оптимальное число диспетчеров с точки зрения получения прибыли.

Решения

Решение задачи 1.

Входные параметры исходной задачи:

;

;

;

;

В результате решения получаем следующие значения параметров:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Таким образом, будет ограблено 308 клиентов в месяц (очень много!). Грабитель «ожидает» приезда бригады в среднем 21,6 минут (тоже очень много).

При и остальных неизменных параметрах имеем:

; .

При и остальных неизменных параметрах имеем:

; .

Очевидно, что наем еще одной бригады намного эффективнее наращивания очереди.

Решение задачи 2.

На шоссе проверяет скорость патруль ГИБДД, состоящий из двух инспекторов. Инспектор оформляет протокол в среднем 10 минут. Инспекторы останавливают машину, если ожидают оформления не более трех машин. Статистически установлено, что за час на данном участке шоссе пытаются превысить скорость в среднем 70 водителей.

Входные параметры исходной задачи:

;

;

;

;

В результате решения получаем следующие значения параметров:

;

; (Нужна именно такая точность!!!)

;

;

;

;

, (практически все время инспекторы заняты);

;

;

;

Процент оштрафованных нарушителей равен (эффективность работы системы мала). Среднее время, которое тратит водитель в ожидании оформления протокола равно 19 минут. В среднем 3,8 машин ожидает оформления.

При и остальных неизменных параметрах имеем:

; ;

При и остальных неизменных параметрах имеем:

; ;

Очевидно, что в обоих случаях интенсивность практически совпадает (система работает близко к максимальному пределу скорости). Незначительно интенсивнее увеличить число инспекторов. Если сравнивать по времени ожидания, то за счет большей скорости оформления оно заметно ниже во втором случае.

Решение задачи 3.

Схема для систем в отдельности не представляет труда. Вычислим только интенсивности работы каждого менеджера.

, .

Найдем среднюю интенсивность менеджера в объединенной системе.

Введем обозначения:

– долю звонков с целью получить рекламу,

– доля звонков с целью получить консультацию по оформлению; – доля «рекламных» менеджеров,

– доля «оформителей»;

– время, которое тратит «рекламщик» на «рекламный» звонок,

– время, которое тратит «рекламщик» на «оформительский» звонок.

– время, которое тратит «оформитель» на «оформительский» звонок,

– время, которое тратит «оформитель» на «рекламный» звонок.

Среднее время, затрачиваемое «рекламщиком» на звонок из общего потока равно:

Интенсивность работы «рекламщика» равна .

Среднее время, затрачиваемое «оформителем» на звонок из общего потока равно:

Интенсивность работы «оформителя» равна .

То есть все менеджеры начинают работать с одинаковой интенсивностью. Очевидно, что и интенсивность работы «объединенного» менеджера . Тот же результат получим по общей формуле:

.

Запишем полученные нами исходные данные для каждой СМО отдельно в таблицу для лучшего восприятия.

СМО Параметр	Рекламщики	Оформители	Объединенная
Число каналов
Интенсивность нагрузки
Интенсивность обслуживания

А) Система рекламных менеджеров.

;

;

;

;

;

;

;

Таким образом, будет обслужено 18 рекламных звонков в час. В среднем один рекламный менеджер из четырех постоянно не работает, то есть менеджер занят работой 75% рабочего времени.

Б) Система менеджеров по оформлению.

;

;

;

;

;

;

;

Таким образом, будет обслужено 5,3 звонков-консультаций по оформлению в час. В среднем работает только 1,32 менеджера из двух, то есть менеджер занят работой рабочего времени.

Всего двумя системами будет обслужено .

В) Объединенная система.

;

;

;

;

;

;

;

Таким образом, будет обслужено всего 20,62 звонков в час. В среднем менеджер будет занят работой рабочего времени.

В объединенной системе при значительно большей загрузке менеджеров получаем сильное снижение общей интенсивности работы. Очевидно, объединение не выгодно!

Решение задачи 4.

Решение (лучше решать задачу по очереди, для каждой СМО отдельно).

СМО Параметр	Исходная (5 лесн., 10 ч.)	Увеличенная (6 лесн., 10 ч.)	Ускоренная (5 лесн., 7,5 ч.)
	0,005562	0,004088	0,015804
	0,3604	0,2649	0,2430
	0,6396	0,7351	0,7570
, наруш./мес.	172,69	198,47	204,38
, наруш./мес.	97,31	71,53	65,62
	3,84	4,41	3,41
, час	10	10	7,5
Загруженность, %	76,8%	73,5%	68,2%

Из результатов расчета осредненных параметров работы системы видно, что оптимальнее увеличить интенсивность работы каждого лесника.

Решение задачи 5.

Средний доход с одного сообщения равен:

,

где время ожидания выражено в минутах.

Общий доход за месяц равен:

Месячные расходы системы равны суммарной зарплате диспетчеров:

Прибыль системы равна разнице дохода и расхода:

Определяем параметры работы системы:

;

;

;

.

, значит система допускает анализ стационарного режима.

;

;

;

;

;

;

.

Доход равен:

Расход равен:

Прибыль равна:

Попробуем изменить число диспетчеров. Уменьшать число диспетчеров нельзя – нарушится условие и время ожидания будет бесконечно расти.

Рассмотрим . Тогда после вычислений получим:

;

Доход равен:

Расход равен:

Прибыль равна:

Прибыль увеличилась.

Рассмотрим . Тогда после вычислений получим:

;

Доход равен:

Расход равен:

Прибыль равна:

Прибыль меньше, чем при пяти диспетчерах. При незначительном увеличении дохода заметно возросли расходы.

Таким образом, оптимальное количество диспетчеров на фирме равно пяти.

КРИВАЯ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Если измерять длины одинаковых кусков прута, отрезанных станком, получим, что, в действительности, они различаются по длине. Аналогичным образом, если записать вес группы детей при рождении, получится, что веса также значительно различаются. Интересно обнаружить, что в обоих случаях, когда записывается большое количество результатов, гистограммы, представляющие разные системы, могут быть заменены одной кривой, называемой кривой нормального распределения. Рис. 2 (а) и (б) показывают две кривых нормального распределения, которые получаются из данных длин прутов и весов младенцев.

Количество

Длина (мм)

(а) Длины прутов, отрезанных на станке

Количество

младенцев

Вес (кг)

(б) Вес группы детей при рождении

Рис. 2. Кривые нормального распределения

Кривая нормального распределения имеет большое значение, потому что этот закон распределения лежит в основе большинства инженерных задач статистического анализа. Рассмотрим его свойства.

(Кривую нормального распределения иногда называют кривой распределения Гаусса в честь немецкого математика Карла Гаусса (1777 – 1855). Также эту кривую называют колоколообразной).

СТАНДАРТНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Для простоты вычислений кривую нормального распределения располагают симметрично оси у и масштабируют таким образом, что площадь под кривой равна единице.

Такая кривая называется стандартной кривой нормального распределения и показана на рис.3 Она описывается уравнением:

ПРИМЕЧАНИЕ: Уравнения такого типа выглядят сложными, но на практике легко рассчитываются. Для демонстрации этого в Приложении 1 приводится вывод кривой нормального распределения из заданного уравнения.

Для стандартной кривой нормального распределения рис.3, пиковое значение (на оси ординат) = 0.399.

Среднее значение равно 0 так как кривая симметрична относительно оси у.

Стандартное отклонение равно 1, и точка «трех стандартных отклонений» приходят близко к «концам» кривой, как видно на графике.

Точки перегиба кривой (где меняется вторая производная) располагаются на расстояниях плюс – минус 1 стандартное отклонение.

Точка перегиба

Точка перегиба

Плотность вероятности

Площадь под кривой от

Стандартная кривая нормального распределения

Риг. 3 Стандартная кривая нормального распределения

Кривую нельзя интегрировать обычными методами, но можно показать, что:

• 68.3% результатов лежат в пределах + и – одно стандартное отклонение

• 95.4% результатов лежат в пределах + и – два стандартных отклонения

• 99.7% результатов лежат в пределах + и – три стандартных отклонения.