1.4 Классификация математических моделей

1.4.1 Классификационные модели

Процесс познания начинается с соотнесения изучаемого объекта с другими, выявления сходства и различия между ними.

Протокол наблюдений содержит результаты измерений ряда признаков X для подмножества А объектов, выбранных из множества Г: каждый объект а А Г обладает значениями признаков x_i=(x_i0,x_i1,...,x_in) (X₀, X₁,...,X_n), i=1,N,n-число признаков, N-число объектов в А. Признак характеризует конкретное свойство объекта, поэтому такой протокол называют таблицей "объект-свойство"/18/.

Способ обработки протокола зависит от цели обработки. Часто оказывается, что задача может быть сформулирована как определение по наблюдавшимся значениям признаков x=(x₁,x₂,...,x_n) значений ненаблюдаемого целевого признака x.

Существуют различные типы задач для классификационных моделей.

Кластеризация -поиск "естественной" группировки объектов. Не заданы ни границы классов в пространстве признаков, ни число классов. Требуется их определить, исходя из "близости", "похожести" или "различия" объектов x_i=(x_i1,x_i2,...,x_in).Компоненты вектора X-признаки класса, значения которых подлежат определению.

Классификация (распознавание образов).Число классов задано. Если также заданы границы между классами, то имеем априорную классификацию. Если границы требуется найти по классификационным примерам, то задача называется распознаванием образов по обучающей выборке. Целевой признак X имеет значения в номинальной шкале (имена классов).

Упорядочение объектов .Требуется установить отношения порядка между x₁₀,x₂₀,...,x_N0 по определенному критерию предпочтения.

Уменьшение размерности модели. .Классификационные модели как первоначальные, "сырые", учитывают множество предположений, которые еще надо проверить. Так, сам список признаков X формируется эвристически и оказывается избыточным, содержащим "дублирующие" и "шумящие" признаки. Поэтому одна из важных задач совершенствования классификационных моделей состоит в уменьшении размерности моделей с помощью отбора наиболее информативных признаков. Информативные признаки могут оказаться различными для различных классов.

1.4.2 Числовые модели

Числовые модели отличаются от классификационных тем, что:

-целевые признаки x измеряются в числовых шкалах;

-числа х представляют собой функционалы или функции признаковых переменных, которые не обязательно все являются числовыми;

- в них гораздо чаще учитываются связи переменных во времени(в классификационных задачах время иногда называют "забытой" переменной).

Связи между входом и выходом системы могут быть заданы, например, в виде уравнения регрессии.

Назовем типичные задачи для числовых моделей.

Косвенные измерения (оценка параметра).Требуется определить значение х₀ по заданному множеству {x_1j}. В отличии от классификации х измеряется не в номинальной, а в числовой шкале.

Поиск экстремума (планирование эксперимента).Требуется разработать такой план одновременного изменения величин {x_ij},чтобы за минимальное число шагов получить экстремальное значение целевого признака y_i.

Статические и динамические модели

Модель называется статической, когда входные и выходные воздействия постоянны во времени. Статическая модель описывает установившийся режим.

Модель называется динамической, если входные и выходные переменные изменяются во времени. Динамическая модель описывает неустановившийся режим работы изучаемого объекта.

Примером статической модели является зависимость длительности технологической операции от затрат ресурсов. Статическая модель описывается алгебраическим уравнением:

y = f(x₁, x_2, ... , x_n) (1.1)

Примером динамической модели является зависимость объемов выпуска товарной продукции предприятия от размеров и сроков капитальных вложений, а также затраченных ресурсов.

Динамическая модель часто описывается дифференциальным уравнением:

A [Y(t), Y’(t), ... , Yⁿ(t); X(t), X’(t), ... , X^m(t), t] = 0 (1.2)

Уравнение (1.2) связывает неизвестную переменную У и ее производные с независимой переменной t и заданной функцией времени Х(t) и ее производными.

Динамическая система может функционировать в непрерывном или дискретном, квантованном на равные интервалы, времени. В первом случае система описывается дифференциальным уравнением, а во втором случае -- конечно-разностным уравнением.

Если множества входных, выходных переменных и моментов времени конечны, то система описывается конечным автоматом.

Конечный автомат характеризуется конечным множеством состояний входа Х = {х₁, х₂, ... , х_k}; конечным множеством состояний выхода Y = {y₁, y₂, ... , y_m}; конечным множеством внутренних состояний Q = {q₁, q₂, ... q_r};функцией переходов T(x, q), определяющих порядок смены внутренних состояний; функцией выходов P(x, q), задающей состояние выхода в зависимости от состояния входа и внутреннего состояния.

Обобщением детерминированных автоматов являются стохастические автоматы, которые характеризуются вероятностями переходов из одного состояния в другое. Если функционирование динамической системы имеет характер обслуживания возникающих заявок, то модель системы строится с использованием методов теории массового обслуживания.

Динамическую модель называют стационарной, если свойства преобразования входных переменных не изменяются со временем. В противном случае ее называют нестационарной.

Объект может считаться стационарным, если его параметры меняются медленно по сравнению со временем, которое требуется для идентификации объекта.

Различают детерминированные и стохастические (вероятностные) модели. Детерминированный оператор позволяет однозначно определить выходные переменные по известным входным переменным.

Детерминированность модели означает лишь неслучайность преобразования входных переменных, которые сами по себе могут быть как детерминированными, так и случайными.

Стохастический оператор позволяет определить по заданному распределению вероятностей входных переменных и параметров системы распределение вероятностей входных переменных.

С точки зрения входных и выходных переменных модели классифицируют следующим образом.

1. Входные переменные подразделяют на управляемые и неуправляемые. Первые могут изменяться по усмотрению исследователя и используются объектом. Вторые непригодны для управления.

2. В зависимости от размерности векторов входных и выходных переменных различают одномерные и многомерные модели. Под одномерной моделью будем понимать такую, у которой входная и выходная переменные являются одновременно скалярными величинами. Многомерной называют модель, у которой векторы x(t) и y(t) имеют размерность n  2.

3. Модели, у которых входные и выходные переменные являются непрерывными по времени и по величине, называют непрерывными. Модели, у которых входные и выходные переменные дискретны или по времени, или по величине, называют дискретными

Отметим, что динамика сложных систем во многом зависит от решений, принимаемых человеком. Процессы, протекающие в сложных системах, характеризуются большим числом параметров- большим в том смысле, что соответствующие уравнения и соотношения аналитически не могут быть разрешены. Часто изучаемые сложные системы уникальны по сравнению даже с аналогичными по назначению системами. Продолжительность экспериментов с такими системами обычно велика и часто оказывается сравнимой со сроком их жизни. Иногда проведение активных экспериментов с системой вообще недопустимо.

Для сложного объекта часто оказывается невозможным определить содержание каждого шага управления, Это обстоятельство определяет настолько большое число ситуаций, характеризующих состояние объекта, что практически невозможно проанализировать влияние каждой из них на принимаемые решения. В этой ситуации вместо жесткого алгоритма управления, предписывающего на каждом шаге его реализации некоторое однозначное решение, приходится использовать совокупность указаний, соответствующую тому, что в математике принято называть исчислением. В отличие от алгоритма в исчислении продолжение процесса на каждом шаге не является фиксированным и есть возможность произвольного продолжения процесса поиска решения. Исчисления и подобные им системы изучаются в математической логике.