3. Циклоїдальні криві порядку n

В ході досліджень циклоїдальних кривих 1 та 2 порядку а також спроб виводу рівнянь циклоїдальних кривих вищого порядку, я помітив деяку закономірність у рівняннях, а тому припустив, що можливо скласти рівняння будь-якої циклоїдальної кривої порядку n, де n – натуральне число.

Розглянемо вивід рівняння на прикладі гіпоциклоїди порядку n. – центр нерухомого кола (0)

– центр рухомого кола № i

– радіус нерухомого кола - радіус рухомого кола № i – кутова швидкість т. – відношення до

Оскільки рівняння для x(t) та y(t) відрізняються тільки тригонометричними функціями , розглянемо саме рівняння x(t), рівняння для y виводитиметься аналогічно.

За припущенням, координати т. Т для системи з n рухомих та одного нерухомого кола задаються рівнянням

(надалі просто – просто )

Отже, ми бачимо зміну рівняння при заміні n-1 на n:

Доведемо це Методом Математичної Індукції:

1. Для n=1

Оскільки ми маємо тільки одну кутову швидкість, зміна якої не впливає на зовнішній вигляд графіка рівняння, а тільки на швидкість його побудови, вважатимемо, що

Отримуємо:

(Аналогічно )

Врахувавши парність(непарність) функцій косинуса та синуса, отримуємо:

( )

• загальновідоме рівняння гіпоциклоїди.

2. Нехай для n=s виконується формула

3. Тоді при n=s+1

А налогічно до рівняння гіпоциклоїди 2 порядку знаходимо координати т. :

Тепер знаходимо координати т. Т:

Як ми можемо побачити,

Отже, ми довели, що для будь-якого натурального n гіпоциклоїду порядку n можна задати рівнянням вигляду

Висновки

Отже, в ході виконання роботи було досліджено основні властивості циклоїди та циклоїдальних кривих, геометричний зміст циклоїдальних кривих.

Мені вдалося зібрати достатньо інформації, синтезувати її, скласти необхідні рівняння та зробити певні висновки.

Було виведено рівняння гіпоциклоїди 2 порядку та порядку n та кінетично задано деякі криві, що частково складаються з циклоїдальних.

Результати досліджень можуть бути використані для вирішення фізичних задач, для комп’ютерного моделювання певних кінетичних явищ.

Надалі, від цієї роботи можна буде відштовхуватись і в майбутньому я хотів би дослідити та пов’язати з цією темою поняття еволюти, вивести рівняння, які ще не вивів, наприклад, для кола, що котиться по прямій, нахиленій відносно осей, скласти й записати решту рівнянь для різних точок сектора та сегмента, дослідити спіралі та пов’язати їх з циклоїдальними кривими, дослідити процеси кочення тіл обертання в просторі.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ ТА ЛІТЕРАТУРИ

ЕРАСОВ Ф. Н.Шестеренная гідромашина внутреннего зацепления. Патент.: Електронний ресурс. http://www.findpatent.ru/patent/60/601456.html

Берман Г.Н. Циклоида. – М., 1980, 200 с.

Веров С. Касательные к рулеттам. – Квант, 1975, № 5, с. 22-30.

Веров С. Тайны циклоиды. – Квант, 1975, № 8, с. 19-27.

Веров С. Брахистохрона, или Еще одна тайна циклоиды. – Квант, 1975, № 12, с. 29-35.

Смирнова И.М., Смирнов В.А. Кривые. – М.: Мнемозина, 2007.