Контрольные вопросы

1Некая информационная служба решила выяснить методом выборочного опроса мнение (совершеннолетних) жителей г. Костромы о законе по приватизации жилья. Бы­ло предложено опросить по одному жильцу из каждого жилого дома (предлагалось выбирать из списка жильцов первого по алфавиту, достигшего совершеннолетия). /Будет ли такой опрос носить случайный характер? Почему?

2. Формула оценки точности метода Манте-Карло (6) имеет характерное отличие от аналогичных оценок для квадратурных формул. Какое?3.

3 Оценка точности по формуле (4) является априорной или апостериорной? Почему?

Указание. Примите во внимание метод нахождения σ по формуле (5).

4. Для вычисления одномерных интегралов метод Монте-Карлр нецелесообразно использовать. Почему? Почему квадратурные формулы оказываются удобнее и дают более точный результат?

5. Какие преимущества имеет метод Монте-Карло перед квадратурными формулами при вычислении многомерных интегралов? (Назовите два основных преимущества.)

6.Пусть некоторый генератор псевдослучайных чисел выдает последовательность чисел, в целом равномерно распределенных по отрезку [0.1), но обладающих одной специфической особенностью: нечетные члены последовательности явно чаще оказываются в первой половине отрезка, а четные члены – во второй его половине. К каким неприятностям может привести использование этого генератора в методе Монте-Карло?

Указание. Попробуйте придумать пример, когда вычисление объема методом Монте-Карло с использованием этого генератора приведет к грубой ошибке.

7.Предположим, некоторый алгоритм генерации псевдослучайных чисел дывает 10000 чисел, а затем их циклически повторяет. Каковы, на ваш взгляд, могут быть последствия применения такого алгоритма или интегралов методом Монте-Карло с использованием скажем 100000?

8. При вычислении объемов методом Монте-Карло оценка точности по формуле (4) может оказаться неверной. Причины могут быть разные, например:

1. допущена ошибка в программе;

2. очень мало число испытаний (точек);

3. объем области на много порядков меньше объема параллелепипеда… А еще какие причины вы можете назвать?

Задания к лабораторнойработе № 7

Задание 1. Вычислить грубо объем пятимерной области G методом Монте-Карло и оценить точность вычисления.

Область G находится внутри пятимерного параллелепипеда вида (1) и определяется шестью неравенствами таблицы 1. Из таблицы 2 взять соответственно номеру варианта координаты параллелепипеда и номера неравенств таблицы 1, определяющих G.

Вычисления провести на основе не менее чем 5000 испытаний.

Таблица 1.

Номера	Неравенства
1	X21+X418
2	X21+X422
3	X25+X235
4	X25+X232
5	X3+X4+X511
6	X3+X4+X512
7	X1+X42+X524
8	X1+X42+X522
9	X52-X130
10	X52-X220
11	X42-X321
12	X42-X312

Таблица 2

							[a1b1]	[a2b2]	[a3b3]	Номера неравенств
	1	2	3	4	5	6	[0,4]	[1,5]	[0,3]	1 3 5
	7	8	9	10	11	12	[0,4]	[1,5]	[0,4]	1 3 6
	13	14	15	16	17	18	[0,4]	[2,5]	[0,3]	1 4 5
	19	20	21	22	23	24	[0,4]	[2,5]	[0,4]	1 4 6
	25	26	27	28	29	30	[0,5]	[1,5]	[0,3]	2 3 5
	31	32	33	34	35	36	[0,5]	[1,5]	[0,4]	2 3 6
	37	38	39	40	41	42	[0,5]	[2,5]	[0,3]	2 4 5
	43	44	45	46	47	48	[0,5]	[2,5]	[0,4]	2 4 6
[a4b4] [a5b5]	[1,5] [1,6]	[0,5] [0,6]	[0,4] [0,5]	[1,4] [1,5]	[0,5] [0,5]	[0,4] [0,6]
Номера неравенств	7 9 11	8 9 11	8 10 12	7 10 12	8 10 11	8 9 12

Задание 2. Вычислить интеграл от функции f(x₁x₂x₃x₄) по четырехмерной области G. Функцию и неравенства, задающие область, взять из таблицы соответственно номеру варианта. Провести не менее 5000 испытаний.

					f(x1x2x3x4)
	1	2	3	4	cos(x1+x4)-x2x3
	5	6	7	8	sin(2x1+3x3)-x2x4
	9	10	11	12	cos(x3)-x1x2x4
	13	14	15	16	sin(x1+x2)-x3x4
	17	18	19	20	x1x22+x3x42
	21	22	23	24	x1+x22+x33+x44
	25	26	27	28	x1x22x33-x4
	29	30	31	32	(x1x2)3-(x3x4)3
	33	34	35	36
	37	38	39	40
	41	42	43	44
	45	46	47	48
G	X12+(X2-3)29 (X3-6)2+X429	(X1-4)2+X3236 X24+(X4-7)281	X12+(X4+4)216 X24+(X3-2)416	(X1-2)2+(X3-1)4 16 (X2-3)2+(X4-3)2 64

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ ЗАДАНИЙ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

1. Пусть требуется вычислить объем пятимерного шара радиуса 1.

Шар G определяется уравнением X₁²+X₂²+X₃²+X₄²+X₅²1 и находится в пятимерном кубе Т= [-1/1]⁵*V_T=32. С помощью ЭВМ проведем по методу Монте-Карло 10000 испытаний. В результате из 10000 точек, брошенных в Т. 1604 попало в шар. Следовательно, по формуле (2) V_G5,1328. По формуле (5) 0,367. Отсюда получаем, что V_G=V_T*3*0,367/100=0,353 с вероятностью не менее 99,7%. Вероятная ошибка равна V_T*0,675*0,367/1000,08

Ответ: объем шара равен 5,130,36 с вероятной ошибкой около 0,08.

2. Пусть функция f и область G заданы соотношениями (8) и (9).

Из (9) получаем следующую систему неравенств:

Следовательно, G содержится в параллелепипеде T=[0,7]*[-4,10]*[-8,6]*[1,9].

С помощью программы приведенной в теоретической справке, получим сумму 10000 случайных значении f и сумму квадратов этих значений: f = 138726*10¹. f² = 138391*10⁴. Тогда = 138,726: из формул (7) и (6) получаем 345. =10,4. Вероятная ошибка составляет примерно 2,3. Так как V_T=7*14*14*8=10976, получаем: I=138?726*V_T; I=10,4*V_T; вероятная ошибка равна 2,3*V_T.

Ответ: I152*10⁴12*10⁴ с вероятной ошибкой