1. Корреляционный анализ

В производственном процессе очень часто необходимо опреде­лить зависимость между разными факторами. Причем необходимо отметить, что если эта связь и существует, ее трудно выявить , так как на процесс влияют и другие, неучтенные нами факторы. В произ­водственной прак­тике очень часто связь между процессами имеет стохастический (слу­чайный или если выразиться более точно не выявленный ) характер, а не функциональный ( детерминированный). Стати­стическая стохастическая зависимость называется корреляци­онной. Эта зависимость возникает тогда, когда один из признаков зависит не только от одного определенного нами фактора, но и от ряда других случайных неучтенных факторов. Виды корреляционных связей могут быть раз­ными, это линейная и нелинейная, положитель­ная и отрицательная. С целью выявления характеристики корреляци­онной зависимости приме­няют корреляционный анализ. Термин «корреляция» был введен в тео­рию статистики английским ученым Ф. Гальтоном.

Корреляционный анализ представляет собой совокупность ос­нован­ных на ма­тематической теории корреляции мето­дов обнаруже­ния корре­ляционной зависи­мости между двумя случайными призна­ками или фак­торами. При этом две слу­чайные величины считаются корреляционно связанными, если матема­тическое ожидание одной из них меняется в за­ви­симости от изменения дру­гой.

Корреляционный анализ обычно применяется для оценки зависи­мо­сти качества конечной продукции от определен­ных свойств сырья или исходных ма­териалов либо режимов работы. Этот вид анализа требует от исполнителя тща­тельности, так как при изме­нении условий экспери­мента вместе с изме­нением исследуемого по­казателя качества сы­рья или материала могут изме­няться и другие показатели их каче­ства. Если не учитывать эти из­менения, то могут возникнуть значи­тельные ошибки в оценке оконча­тельного качества.

Пример. В цехе ведется обработка изделия на токарном станке. Имеется вход­ной параметр процесса точения – момент затяжки болтов резцедержателя станка, который определяет жесткость си­стемы резания металла. Технолог хочет определить имеется ли зави­симость между этим входным параметром и выходными параметрами процесса, влияющими на качество, а именно точ­ность обработки, силой резания, временем стойкости резца (время между двумя заточ­ками) и расходом электроэнергии. В течение некоторого времени проводились опытные обработки на станке. Вводилось некоторое значение входного параметра и определялись значения выходных параметров. Значения заносились в таблицу 7.20.

Таблица 7.20 – Данные замера

	Входной па­раметр	Выходные параметры
	Момент за­тяжки резца, Нм	% год­ных из­де­лий	Сила резания, КН	Стой­кость резца, мин	Расход э/энергии, кВт/час
1	60	96	15,5	44	2,5
2	80	96,5	14	45	4
3	100	97	14,1	50	3,5
4	120	98	12,2	55	2,9
5	140	99	11	68	4
6	160	99	8,5	75	3,4
7	180	98,5	9,6	80	4,1
8	200	97	9,1	94	2,8

Рисунок 7.15 – График % годных

Рисунок 7.16- - График силы резания

Рисунок 7.17 – График стойкости

Рисунок 7.18 – График расхода энергии

Чтобы легче было видеть корреляцию необходимо построить график, лучше всего диаграмму разброса. Диаграммы разброса удобно строить с по­мощью пакета EXCEL. В мастере построения диаграмм имеется тип графика «точечный». Это и есть диаграмма разброса. Более того пакет позволяет, кроме нанесения точек, по­строить линию тренда. Тренд- это график какой либо функции, макси­мально близко описывающей положение точек эмпири­ческих данных, кото­рую можно выразить аналитически в виде формулы. С помощью тренда мы можем видеть закономерность развития про­цесса в бу­дущем, а с помощью аналитического выражения произво­дить прогнозные расчеты. EXCEL по­зволяет сразу получить аналити­ческую формулу макси­мально , описывающую траекторию тренда и коэффициент де­терминации. Для получения линии тренда необхо­димо установить курсор на любую точку на графике и нажать правую кнопку «мыши», появится афиша, в которой есть фраза «добавить линию тренда», с учетом расположения точек необходимо выбрать тип зависимости и значит вид графика. Это может быть зависимость линейная ( Y=ax+b), логарифмическая ( Y=a Ln(x)+b), полиноми­нальная (Y= ax² + cx + b ) , степенная (Y = ax^c ), экспоненциальная ( Y =ae^cx), линейная фильтрация. Для получения коэффициента детерми­нации ( величина досто­верности аппроксимации) в разделе «пара­метры» необходимо поставить метки в соответствующие квадратики.

Одной из основных задач анализа является выявление входных факторов Х, максимально влияющих на выходной параметр Y. Наиболее часто встреча­ется линейная корреляции, то есть определе­ние линейной зависимости между двумя факторами- входным и выходным. На диаграммах 7.16 и 7.17 видны линейные обратно пропорциональная ( отрицательная) зависимость между факторами и прямо пропорциональная ( положительная) зависимость между факторами. Корреляция позволяет количественно выразить эту зави­симость. Количественно оценить, насколько линейна зависимость между двумя пере­менными, позволяет коэффициент корреляции r.

(7.13.)

Формулу расчета коэффициента корреляции разработал К.Пирсон, ученик Ф.Гальтона. Расчетный коэффициент корреляции всегда находится в пределах от -1 до +1. Знак коэффициента говорит о зависимости. Если знак (+) зависи­мость положительная при возрастании Х возрастает и Y. Если знак (-) зависи­мость отрицательная, при возрастании Х , значение Y уменьшается. При­ближение коэффициента к /1/ показывает величину приближения зависимо­сти к линейной, если коэффициент равен 1, независимо от знака, линейная зависимость полная.

При пользовании пакетом EXCEL и построении точечных диаграмм при­ближение корреляции к линейности или зависимости другого вида можно быстро определять по коэффициенту детерминации R² (величина достоверно­сти аппроксимации). В дальнейшем для определения уровня приближенности корреляции к линейности или кривой лучше пользоваться коэффициентом детерминации.

Коэффициент детерминации R² – это отношение регрессивной квадра­тич­ной ошибки (РКО) к полной квадратичной ошибке ( ПКО).

(7.14.)

Где Y_Тi – теоретическое значение выходного параметра ( по формуле), Y_срф - средне арифметическое значение реального показателя выходного параметра, Y _рi – реальное ( опытное) значение выходного параметра .

Определим коэффициент R² для нашего примера – зависимости - момент затяжки и стойкость резца. На рисунке 7.19. EXCEL определил формулу аналитической зависимости как и R² = 0.9596. Проверим этот результат.

Как видно результат практически совпал (Таблица 7.21.)

Таблица 7.21 - Результаты расчета

Х	Yр	(Yр-Yсрф)2	YТ	(YТ-Yсрф)2
60	44	395,015625	38,334	652,342681
80	45	356,265625	45,632	332,807049
100	50	192,515625	52,93	119,793025
120	55	78,765625	60,228	13,300609
140	68	17,015625	67,526	13,329801
160	75	123,765625	74,824	119,880601
180	80	260,015625	82,122	332,953009
200	94	907,515625	89,42	652,547025
		ПКО		РКО
сумма	511	2330,875		2236,9538
Yсрф	63,875
	R2	0,959705604

Коэффициент R² показывает, какая часть полной наблюдаемой вариации соответствует нашему аналитическому выражению (формуле). Чем ближе коэффициент к 1, тем более достоверна формула, при R² = 1, формула пол­ностью описывает закономерность появления данных, все точки находятся на линии аналитического графика ( тренда). Если в случае построения линейной зависимости R² = 1, линейная зависимость полная. Характер зависимости можно определить по графику. Угол наклона прямой на графике показывает силу зависимости. Чем более круто наклонена прямая тем, больше зависимость.

Корреляция может иметь и не линейный характер. На диаграмме – рисунке 7.15. корреляция не линейная, причем график имеет экстремальную точку- пик. На диаграмме-рисунке 7.18. корреляции нет, точки расставлены без всякой системы, то есть зависимости этих двух факторов нет.

В примере с моментом затяжки резца, мы определили три фактора влияющие на качество продукции, видим общую закономерность влияния, но для определения точной функциональной зависимости необходимо получить аналитическую форму этой зависимости( формулу функции, максимально полно от­ражающей данную зависимость. Для этого необходимо провести регрессионный анализ. Данный анализ подробно рассмотрен в разделе……

Подготовка эксперимента
Проведение эксперимента
Планирование эксперимента