4. Критерии проверки и оценка решений заданий 16 (18 в 2015 г., с4 ранее) вариантов ким егэ–2017
В планиметрических заданиях заметное структурное и содержательное изменение произошло в 2014 году. В пункте а теперь нужно доказать геометрический факт, в пункте б – найти (вычислить) геометрическую величину.
С точки зрения разработчиков включение проверяемого элемента на доказательство в задание 16 должно повысить уровень подготовки школьников. Кроме того, такое доказательство является естественным продолжением практики использования заданий на доказательство в экзамене за курс основной школы. По фактическим данным выполнения задание 16 является границей, разделяющий высокий и повышенный уровень подготовки участников ЕГЭ.
В 2017 году изменений в структуре и тематическом содержании этих заданий нет.
Содержание критерия, задание №16 (=18), 2016 г. |
Баллы |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б |
3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки |
2 |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен |
1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
Максимальный балл |
3 |
Задача 1
Точка
лежит на отрезке
.
Прямая, проходящая через точку
,
касается окружности с диаметром
в точке
и второй раз пересекает окружность
с
диаметром
в точке
.
Продолжение отрезка
пересекает окружность с диаметром
в точке
.
а) Докажите, что прямые
и
параллельны.
б) Найдите
площадь треугольника
,
если
и
.
Решение.
|
.
Прямые
и
перпендикулярны одной и той же прямой
,
следовательно, прямые
и
параллельны.
б) Пусть
— центр окружности с диаметром
.
Тогда прямые
и
перпендикулярны. Учитывая, что прямые
и
перпендикулярны, получаем, что прямые
и
параллельны. Обозначим
через
.
Треугольник
подобен треугольнику
с коэффициентом 5, поэтому
.
Опустим перпендикуляр
из точки
на прямую
.
Так как четырёхугольник
— прямоугольник,
,
.
По теореме Пифагора
,
откуда
.
Получаем, что
.
Поскольку прямые и параллельны,
.
Значит, треугольники
и
равновелики. Следовательно,
.
Ответ: б) 30.
Задача 2.
Дан прямоугольный треугольник
с прямым углом
.
На катете
взята точка
.
Окружность с центром
и диаметром
касается гипотенузы в точке
.
а) Докажите, что прямые
и
параллельны.
б) Найдите
площадь четырёхугольника
,
если
и
.
Решение.
|
.
Точка
лежит на окружности с диаметром , поэтому
.
Прямые
и
перпендикулярны одной и
той же прямой
,
следовательно, они параллельны.
б) Пусть
,
.
Тогда
,
,
.
Центр окружности, вписанной в угол,
лежит на его биссектрисе, поэтому
— биссектриса треугольника
.
По свойству биссектрисы
.
Пусть
,
.
Тогда по теореме Пифагора
.
Поэтому
.
Следовательно,
.
Пусть отрезки
и
пересекаются в точке
.
Тогда
— середина
,
а
— средняя линия треугольника
.
Поскольку
,
прямоугольные треугольники
и
подобны, откуда
;
.
Из прямоугольного треугольника
находим:
;
.
По формуле площади трапеции
.
Ответ: б) 7.
Как и во всякой сложной геометрической задаче, весьма деликатным является вопрос о степени и характере обоснованности построений и утверждений. Позиция разработчиков КИМ состоит в том, что при решении задания №16 (=18=С4) невозможно от выпускников школ на экзамене требовать изложения, приближающегося к стилю учебников и методических статей. Достаточным является наличие ясного понимания геометрических конфигураций искомых объектов, верного описания (предъявления) этих конфигураций и грамотно проведённых рассуждений и вычислений. Обратим также внимание на то, что часто при решении геометрических задач школьники ссылаются на весьма невразумительный чертёж, а иногда чертёж вообще отсутствует (если рисунок сделан на бланке карандашом, то эта область не сканируется). Снижать оценку только за это не рекомендуется.