7.3. Теорема Бернулли

Теорема Бернулли исторически является первой и наиболее простой формой закона больших чисел. Она теоретически обосновывает свойство устойчивости относительной частоты.

Теорема 7.4 (Закон больших чисел в форме Я. Бернулли). Если вероятность появления события А в одном испытании равна р, число наступления этого события при n независимых испытаниях равно , то для любого числа имеет место равенство

,

(7.10)

т.е относительная частота события А сходится по вероятности к вероятности р события А: .

Доказательство. Введем случайные величины следующим образом: , если в i-м испытании появилось событие А, а если не появилось, то . Тогда число А (число успехов) можно представить в виде

.

Математическое ожидание и дисперсия случайных величин равны: , . Закон распределения случайных величин X_i имеет вид

Хi	0	1
Р		р

при любом i. Таким образом, случайные величины X_i независимы, их дисперсии ограничены одним и тем же числом , так как

^.

Поэтому к этим случайным величинам можно применить теорему Чебышева

.

Но

,

Следовательно, .

Теорема Бернулли теоретически обосновывает возможность приближенного вычисления вероятности события с помощью его относительной частоты. Так, например, за вероятность рождения девочки можно взять относительную частоту этого события, которая, согласно статистическим данным, приближенно равна 0,485.

Неравенство Чебышева (7.2) для случайных величин

принимает вид

.

(7.11)

Обобщением теоремы Бернулли на случай, когда вероятности p_i появления события А в каждом из n испытаний различны, является теорема Пуассона:

,

(7.12)

где p_i - вероятность события А в i-м испытании.

Пример 7.2. Вероятность наличия опечатки на одной странице рукописи равна 0,2. Оценить вероятность того, что в рукописи, содержащей 400 страниц, частость появления опечатки отличается от соответствующей вероятности по модулю меньше, чем 0,05.

Решение:

Воспользуемся формулой (7.11). В данном случае , , , . Имеем , т.е. .

7.4. Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема представляет собой вторую группу предельных теорем, которые устанавливают связь между законом распределения суммы случайной величины и его предельной формой - нормальным законом распределения.

Сформулируем центральную предельную теорему для случая, когда члены суммы имеют одинаковое распределение. Эта теорема чаще других используется на практике. В математической статистике выборочные случайные величины имеют одинаковые распределения, так как получены из одной и той же генеральной совокупности.

Теорема 7.5. Пусть случайные величины независимы, одинаково распределены, имеют конечные математическое ожидание и дисперсию , . Тогда функция распределения центрированной и нормированной суммы этих случайных величин стремится при к функции распределения стандартной нормальной случайной величины:

,

(7.13)

Из соотношения (7.13) следует, что при достаточно большом n сумма Z_n приближенно распределена по нормальному закону: . Это означает, что сумма приближенно распределена по нормальному закону: . Говорят, что при случайная величина асимптотически нормальна.

Напомним, что:

1. Случайная величина X называется центрированной и нормированной (т.е. стандартной), если MX = 0, a DX = 1.

2. Если случайные величины , независимы, , , то

,

.

3. - функция Лапласа, , где - нормированная функция Лапласа.

Формула (7.13) позволяет при больших n вычислять вероятности различных событий, связанных с суммами случайных величин. Так, перейдя от случайной величины

к стандартной случайной величине, получим:

,

Или

.

(7.14)

Формула (7.14) определяет вероятность того, что сумма нескольких случайных величин окажется в заданных пределах. Часто центральную предельную теорему используют, если n>10.

Пример 7.3. Независимые случайные величины распределены равномерно на отрезке . Найти закон распределения случайной величины , а также вероятность того, что .

Решение:

Условия центральной предельной теоремы соблюдаются, поэтому случайная величина Y имеет приближенно плотность распределения

.

По известным формулам для математического ожидания и дисперсии в случае равномерного распределения находим:

, , .

Тогда

,

,

Поэтому

.

Используя формулу (7.14), находим

,

т.е. .