60

7. Специальные задачи линейного программирования.

   1. Транспортная задача.

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного продукта из m пунктов отправления в n пунктов назначения .

При этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки.

Мы возьмем в качестве критерия оптимальности минимальную стоимость перевозок всего груза.

Постановка задачи:

( 7.1.0)

при условиях

( 7.1.0)

( 7.1.0)

( 7.1.0)

где

- тарифы перевозок единицы груза из i - го пункта отправления в j - ый пункт назначения.

- запасы груза в i - м пункте отправления

- потребность в грузе в j - м пункте назначения

- количество единиц груза, перевозимого из i - го пункта отправления в j - ый пункт назначения.

Определение 1.

Всякое неотрицательное решение систем линейных уравнений ( 7.1 .0) и ( 7.1 .0), определяемое матрицей называется планом транспортной задачи.

Определение 2.

План , при котором функция ( 7.1 .0) принимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

Обычно исходные данные транспортной задачи записываются в виде:

Пункты отправления	Пункты назначения ............ ............					Запасы
............
............
Потребности		............		............

Естественно:

( 7.1.0)

то есть модель такой транспортной задачи называется закрытой.

Если условие ( 7.1 .0) не выполняется, то модель транспортной задачи называется открытой.

Теорема 1.

Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ( 7.1 .0).

Замечание.

(приведение транспортной задачи открытого типа к закрытой).

Если условие ( 7.1 .0) не выполняется, то возможны два случая:

1. ;

2. .

Если транспортная задача открытого типа и запасы пункта А превосходят потребности, то есть , то вводится фиктивный (n + 1) пункт назначения с потребностью

и соответствующие тарифы считаются равными нулю.

Полученная задача является транспортной задачей, для которой выполняется равенство ( 7.1 .0).

Аналогично, если транспортная задача открытого типа и потребности пункта B превосходят запасы, то есть , то вводится фиктивный (m + 1) пункт отправления с запасом груза

и соответствующие тарифы считаются равными нулю.

Этим задача сводится к обычной транспортной задаче закрытого типа, из оптимального плана которой получается оптимальный план исходной задачи.

Исходная задача:

Число переменных в транспортной задаче равно n x m, а число уравнений ( 7.1 .0) и ( 7.1 .0) равно n + m. Так как предполагаем, что выполнено условие ( 7.1 .0) (транспортная задача закрытого типа), то число линейно-независимых уравнений равно (n + m - 1). Следовательно, опорный план транспортной задачи может иметь (n + m - 1) отличных от нуля неизвестных.

Замечание.

Опорным планом называется начальный допустимый план, от которого начинается движение к оптимальному плану.

Опорный план считается невырожденным, если число элементов в матрице равно в точности (n + m - 1).

Если оказалось, что в матрице оказалось меньше, чем (n + m - 1) элементов, отличных от нуля, то опорный план называется вырожденным.

Существует несколько методов определения опорного плана и несколько методов определения оптимального плана.

Для определения опорного плана могут использоваться следующие методы:

1. метод северо-западного угла;

2. метод минимального элемента;

3. метод аппроксимации Фогеля.

Для определения оптимального плана используются:

1. метод потенциалов;

2. метод дифференциальных рент.

и ряд других методов.