55

6. Линейное программирование.

Задача линейного программирования состоит в оптимизации линейной функции на многогранном множестве , то есть математически она записывается следующим образом:

, (6.1.0 )

где

,

- вектор размерности ,,

- матрица размера ранга,

- вектор размерности,. (6.1.0 )

Скалярное произведение называетсяцелевой функцией. Коэффициенты целевой функции - это координаты вектора .

Множество называетсямножеством ограничений или допустимой областью задачи линейного программирования.

Задача ( 6.1 .0 ) - . ( 6.1 .0 ) называется задачей линейного программирования в каноническом виде.

Оптимальное значение целевой функции задачи линейного программирования может быть как конечным , так и неограниченным.

Теорема (условия оптимальности для задачи линейного программирования).

Рассмотрим задачу линейного программирования ( 6.1 .0 ) - . ( 6.1 .0 ).

Пусть ,- экстремальные (угловые) точки,- экстремальные направления множества.

Для того, чтобы оптимальное значение целевой функции было конечным, необходимо и достаточно, чтобы .

Если это условие выполняется, то среди решений задачи (оптимальных точек) будет хотя бы одна экстремальная точка .

Из этой теоремы следует, что, по меньшей мере, когда допустимая область ограничена, можно решить задачу линейного программирования, вычислив и затем найти минимальное из всех.

То есть это перебор всех точек многогранного множества. Но количество экстремальных точек для реальных задач велико, и способ перебора неприемлем.

1. Геометрическая интерпретация.

Поверхность уровня целевой функции

представляет гиперплоскость. При изменении получаем семейство параллельных гиперплоскостей. Направлениенаискорейшего роста задается градиентом:

Градиент рисуется по осям

Пример

2. Двойственные задачи линейного программирования.

В теории линейного программирования чрезвычайно важную роль играет то обстоятельство, что каждой задаче линейного программирования соответствует некоторая двойственная задача.

Если исходная задача(прямая)

при условии ,,

то двойственная задача представляет задачу на минимум

при условии ,,

то есть в развернутом виде:

прямая:

двойственная:

В экономике переменные двойственной задачи линейного программирования – это «теневые цены» лимитирующих ресурсов прямой задачи линейного программирования. «Теневая цена» ресурса показывает, насколько увеличится значение целевой функции при снижении лимитирующего ресурса на единицу. Увеличение объема лимитирующего ресурса на единицу целесообразно только в том случае, если существует возможность его получения по стоимости, которая ниже, чем «теневая цена» данного ресурса.

Таблица для двойственных задач линейного программирования :

Если к двойственной задаче применить те же преобразования, какие были сделаны для прямой задачи, то вновь получаем исходную задачу линейного программирования (то есть двойственная к двойственной - есть исходная задача).