3. Функция распределения непрерывной случайной величины

Закон распределения непрерывной случайной величины невозможно описать с помощью таблицы, в которой были бы перечислены все возможные значения этой величины и их вероятности. Однако различные области возможных значений случайной величины не являются одинаково вероятными. Для количественной характеристики этого распределения рассматривают не вероятность события X=x, а вероятность события X<x, где x – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события зависит от x, т.е. является некоторой функцией распределения случайной величины X и обозначается F(x):

F(x)=P(X<x)

Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения. Она существует для всех случайных величин как дискретных, так и непрерывных.

4. Геометрическая интерпретация функции распределения

Если рассматривать случайную величину X как случайную точку X на оси Ox, которая в результате испытания может занять то или иное положение, тогда функция распределения F(x) есть вероятность того, что случайная точка X в результате испытания попадет левее точки x (рис 2.).

Рис 2. Геометрическая интерпретация функции распределения.

5. Основные свойства функции распределения

1. Как и всякая вероятность, функция распределения не может быть отрицательной и больше единицы:

0

2. Вероятность попадания случайной величины на заданный отрезок (а, b) равна приращению функции распределения на этом отрезке:

3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю:

В этом можно убедиться, если рассматривать вероятность попадания случайной величины на заданный отрезок (a,b) при неограниченном уменьшении этого отрезка (b a.) В пределе вместо вероятности попадания случайной величины на отрезок получим вероятность того, что величина примет отдельно взятое значение а:

Если функция F(x) в точке а непрерывна, то этот предел равен нулю.

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат отрезку (a, b), то F(x)=0 при ;

F(x)=1 при .

Пусть . Тогда событие X<x₁ невозможно.

Следовательно, F(x)=P(X<x₁)=0.

Пусть . Тогда событие X<x₂ достоверно.

Следовательно, F(x)=P(X<x₂)=1.

6. Плотность распределения непрерывной случайной величины

Вследствие того, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю, практической мерой вероятности данного значения x может служить вероятность того, что случайная величина примет значение в бесконечно малом интервале (x, x+ x).

Пусть имеется непрерывная случайная величина X с непрерывной и дифференцируемой функцией распределения F(x). Вычислим вероятность попадания этой случайной величины в интервал (x, x+ x):

P(x<X< x+ x)=F(x, x+ x)-F(х)

Рассмотрим отношение этой вероятности к длине интервала x и будем приближать значение x к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

Введем обозначение f(x)= .

Функция f(x), являющаяся производной функции распределения, называется плотностью распределения (плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X.

Плотность распределения – неотрицательная функция: .

В противоположность функции распределения плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину X с плотностью распределения f(x) и бесконечно малый интервал dx, примыкающий к точке x (рис. 3). Вероятность попадания случайной величины X в этот бесконечно малый интервал равна f(x)dx. Величина f(x)dx называется элементом вероятности. Геометрически это есть площадь прямоугольника, опирающего на отрезок dx.

Рис 3. Площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx, численно равна элементу вероятности.

Выразим вероятность попадания величины X на отрезок (a,b) через плотность распределения. Она равна сумме элементов вероятности на всем этом отрезке, т.е. интегралу:

(*)

Геометрически вероятность попадания величины X на отрезок (a,b) равна площади, ограниченной кривой f(x), осью абсцисс и перпендикулярами в точках x=a и x=b (Рис. 4)

Рис 4. Площадь заштрихованной фигуры численно равна вероятности попадания величины Х на отрезок (а, в).

Выразим функцию распределения через плотность распределения. По определению , откуда по формуле (*) имеем:

.

Геометрически F(x) – это площадь под кривой f(x), расположенная левее x (рис. 5).

Рис 5. Площадь заштрихованной фигуры численно равна вероятности события Х<x.

Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

- Это условие нормировки плотности вероятности.

Геометрически это означает, что полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.