Метод Крамера
Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
где 
-
определитель матрицы системы, 
-
определитель матрицы системы, где
вместо
-го
столбца стоит столбец правых частей.
Замечание
Если определитель системы равен нулю, то система может быть как совместной, так и несовместной.
Замечание
Данный метод удобно применять для маленьких систем с громоздкими вычислениями, а так же если нужно найти одну из неизвестных. Трудность заключается в том, что необходимо считать много определителей.
Примеры решения систем уравнений методом Крамера
Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:
Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:
Таким образом,
Ответ.
Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)
При решении систем линейных уравнений используют также метод Гаусса. Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок(обратный ход).
При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:
умножение или деление на одно и то же число;
сложение и вычитание уравнений;
перестановку уравнений системы;
исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.
Пример решения системы уравнений методом Гаусса
Решение. Выпишем
расширенную матрицу системы и при помощи
элементарных преобразований над ее
строками приведем эту матрицу к
ступенчатому виду (прямой ход) и далее
выполним обратный ход метода Гаусса
(сделаем нули выше главной диагонали).
Вначале поменяем первую и вторую строку,
чтобы элемент 
равнялся
1 (это мы делаем для упрощения вычислений):
Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей - три первых:
Все
элементы третьей строки делим на два
(или, что тоже самое, умножаем на 
):
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:
От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:
Умножив
третью строку на 
,
получаем:
Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гаусса-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент , для этого от второй строки отнимем третью:
Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:
Полученной матрице соответствует система
или
Ответ.
Понятие комплексного числа
Определение
Комплексным
числом называется
выражение вида 
Например. 