Метод контурных токов.

При использовании метода контурных токов расчет сложной разветвленной схемы проводят в два этапа.

На первом этапе вводят и рассчитывают вспомогательные контурные токи, число которых N_К обычно меньше общего числа N_В неизвестных токов. На втором этапе путем простого алгебраического суммирования находят искомые токи.

Для решения нашей задачи зададимся направлениями контурных токов J_a, J_b, J_c и J_d в замкнутых контурах A, B, C и D соответственно (на пример, как это показано на рис. 2, пунктирными линиями против часовой стрелке). По любой ветви должен протекать хотя бы один контурный ток.

Для расчета контурных токов составим систему из N_К уравнений на основе второго закона Кирхгофа:

для контура A J_a (r₁+R₁) – J_b R₁= E₁

для контура B J_b (R₁+R₂+ R₃+r₃) – J_a R₁– J_c r₃ – J_d R₃= E₃

для контура C J_c (r₃+R_H+R₅) – J_b r₃ – J_d R₅= – E₃

для контура D J_d (r₂+R₃+R₄+R₅) – J_c R₅ – J_b R₃ = E₂

Действительные токи в ветвях определяются наложением контурных токов. Для определения истинных значений токов, протекающих в схеме, запишем соотношения, связывающие их с контурными токами:

J₀ = J_d – J_b ; J₁ = J_a ; J₂ = J_b ;

J₃ = J_b– J_a ; J₄ = J_c ; (5)

J₅ = J_c – J_b ; J₆ = J_d – J_c ; J₇ = J_d

Если какое-нибудь значение тока получится отрицательным, то его направление противоположно тому, что указано в схеме.

Правильность расчета значений токов в схеме, как и в предыдущем случае, проверяется путем проверки выполнения баланса мощностей (4).

Для расчета падений напряжения на элементах электрической цепи следует воспользоваться законом Ома (1).

Решение задачи методом контурных токов с помощью программы MathCAD приведено на листинге №2.

Метод узловых потенциалов.

Этим методом рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда число уравнений в системе меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов. Число уравнений в системе при использовании метода узловых потенциалов равно n = N_У–1.

Расчет разветвленной схемы методом узловых потенциалов проводят в несколько этапов.

Если в схеме имеются источники ЭДС, их сначала преобразуют в эквивалентные источники тока I_i с использованием формулы преобразования:

I_i = E_i g_i (6)

где g_i = 1 / r_i есть внутренняя проводимость источника i.

Далее выбирают опорный, базисный узел и принимают его потенциал равным нулю. В качестве такого узла целесообразно выбрать узел, в котором сходится наибольшее число ветвей. Потенциалы в остальных узлах схемы отсчитываются от базисного узла.

Затем составляют и решают систему уравнений относительно узловых потенциалов V_i:

(7)

где g_ii - сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу i;

g_ij - сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел i с узлом j;

å I_i - алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к узлу i, при этом со знаком плюс берутся те токи, которые направлены к узлу, и со знаком минус – в направлении от узла.

На последнем этапе по найденным узловым потенциалам находят искомые токи в ветвях с помощью закона Ома (1).

Преобразуем нашу схему в соответствии с изложенными выше правилами к виду, показанному на рис. 3.

Рис. 3. Эквивалентная схема разветвленной цепи.

Выберем в качестве опорного базисного узла узел (b). Примем его потенциал равным нулю и составим систему уравнений относительно остальных узловых потенциалов:

(8)

где G₂₄ = 1/(r₂+R₄).

Определив значения потенциалов V_a, V_c, V_d и V_f соответственно для узлов a, c, d и f, воспользуемся законом Ома (2) и рассчитаем значения токов в ветвях нашей схемы:

J₀ = V_f G₃ ; J₁ = (E₁ + V_a) g₁ ; J₂ = (V_c - V_a) G₂ ;

J₃ = V_a G₁ ; J₄ = (V_d - V_c) G_n ; J₅ = (V_c - V_f - E₃ ) g₃ ;

J₆ = (V_d - V_f) G₅ ; J₇ = (E₂ - V_d ) G₂₄

Решение задачи по определению значений токов в схеме методом узловых потенциалов с использованием программы MathCAD приведено на листинге №3.

Правильность расчета проверяется путем проверки выполнения баланса мощностей (4).

Для расчета падений напряжения на элементах электрической цепи следует воспользоваться законом Ома (1).