Материальная точка

Во многих кинематических задачах оказывается возможным пренебречь размерами самого тела. Еще раз рассмотрим автомобиль, движущийся из Минска в Брест. Расстояние между этими городами порядка 350 километров, размеры автомобиля - несколько метров, поэтому в такой ситуации при описании положения автомобиля можно не учитывать его размеры - если капот автомобиля находится в Бресте у нужного подъезда нужного дома, то можно считать, что и его багажник находится приблизительно там же. Таким образом, в данной задаче можно мысленно заменить автомобиль его моделью - телом, размеры которого пренебрежимо малы. Такая модель тела очень часто используется в физике и называется материальной точкой.

Материальная точка - это идеальная модель тела, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Общим у геометрической и материальной точек является отсутствие собственных размеров. Материальную точку, по мере необходимости, можно «наделять» свойствами, которыми обладают реальные тела, например, массой, энергией, электрическим зарядом и так далее.

Одним из критериев применимости модели материальной точки является малость размеров тела по сравнению с расстоянием, на которое оно перемещается. Однако это условие не является абсолютно однозначным. Так, описывая движение Земли вокруг Солнца при расчете ее положения на орбите, размерами Земли можно пренебречь, считать ее материальной точкой. Однако, если нам необходимо рассчитать времена восхода и заката Солнца, модель материальной точки принципиально неприменима, так как это описание требует учета вращения Земли, учета ее размеров и формы.

Рассмотрим еще один пример. Спринтеры соревнуются на стометровой дистанции. Цель описания движения – выявить, кто из спортсменов пробегает дистанцию за меньшее время (задача чисто кинематическая). Можно ли в данной задаче считать бегуна материальной точкой? Его размеры значительно меньше дистанции забега, но достаточно ли они малы, чтобы ими можно было пренебречь? Ответ на эти вопросы зависит от требуемой точности описания. Так, на серьезных соревнованиях время измеряется с точностью 0.01 секунды, за это время бегун смещается на расстояние порядка 10 сантиметров (простая оценка, полученная исходя из средней скорости спринтера 10 м/с). Следовательно, погрешность, с которой определяется положением бегуна (10 см) меньше, чем его поперечные размеры, поэтому модель материальной точки в данном случае неприменима. Не случайно мастера спринтерского бега на финише «бросают грудь вперед», выигрывая драгоценные сотые доли секунды. Таким образом, вторым критерием применимости модели является требуемая точность описания физического явления.

В некоторых ситуациях можно использовать модель материальной точки, даже если размеры тела сравнимы и даже больше расстояний, на которое смещается тело. Это допустимо тогда, когда положение одной точки тела однозначно определяет положение всего тела. Так при скольжении бруска по наклонной плоскости, зная положение его центра (как, впрочем, и любой другой точки) можно найти положение всего тела. Если модель материальной точки оказывается неприменимой, то необходимо использовать другие более сложные модели.

Модель абсолютно твердого тела

При поступательном движении все точки тела получают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми. Соответственно, при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории. Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела (например, его центра инерции) для того, чтобы охарактеризовать полностью движение всего тела.

При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Траектории и линейные скорости разных точек различны, но углы поворота и угловые скорости одинаковы. Поскольку угловые скорости всех точек тела одинаковы, то говорят об угловой скорости вращения тела. Для описания вращательного движения нужно задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.

При описании вращательного движения считается, что рассматриваемое тело не деформируется, т. е. расстояния между точками тела не изменяются. Такое тело в механике называется абсолютно твердым телом.

Абсолютно твердое тело – такое тело, расстояние меду точками которого не меняется.

С атомистической точки зрения силы взаимодействия между материальными точками твердого тела являются силами электрическими. Но механика рассматривает твердое тело не как совокупность атомов, а как сплошную среду, между различными элементами которой действуют внутренние силы в виде нормальных и касательных напряжений. Причиной напряжений являются деформации. Если в теле совсем нет деформаций, то не может быть и внутренних напряжений. Однако если деформации, возникающие под действием внешних сил, малы и сами по себе нас не интересуют, то в ряде случаев от них можно отвлечься. Таким путем мы приходим к идеализированной модели тела, совершенно не способного деформироваться, хотя под действием внешних сил в нем и могут возникать внутренние натяжения и давления. Это и есть идеально твердое тело. Идеально (абсолютно) твердое тело – такая же абстракция, как и материальная точка. Допустима или нет такая, как и всякая другая, идеализация — это определяется не только свойствами реальных тел, но и содержанием тех вопросов, на которые надо получить ответ.

Радиус-вектор - вектор, задающий положения точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Перемещение - вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории.

Для измерения скорости поступательного перемещения достаточно знать длины пути и времени. Тогда средняя скорость:

где S – длина пути; t – промежуток времени.

Погрешность измерений, само собой разумеется, складывается из погрешностей измерений перемещений и времени

Измерение ускорения при поступательном перемещении измеряется точно так же: движение прибор с

Погрешность измерения ускорений также определяется погрешностями, допущенными при измерении величины перемещения и времени, затраченного на это перемещение.

Для измерения скорости перемещения поступательного движения часто пользуются приборами, которые преобразуют угловую скорость в линейную.

Сперва разберемся с угловой скоростью: это измерение угла поворота х за время t; эту величину называют средней угловой скоростью.