45. Парные коэффициенты корреляции
Корреляция
- это статистическая взаимосвязь двух
или нескольких случайных величин (либо
величин, которые можно с некоторой
допустимой степенью точности считать
таковыми). При этом изменения одной или
нескольких из этих величин приводят к
систематическому изменению другой или
других величин. Мерой корреляции двух
случайных величин служит коэффициент
корреляции.
Тесноту
связи, например между переменными 
и
по
выборке значений 
, 
,
оценивает линейный
коэффициент парной корреляции: 
,
(3.4.1)
где 
и 
–
средние значения, 
и 
–
стандартные отклонения соответствующих
выборок.
Парный
коэффициент корреляции изменяется в
пределах от –1 до +1. Чем ближе он по
абсолютной величине к единице, тем ближе
статистическая зависимость между 
и 
к
линейной функциональной. Положительное
значение коэффициента свидетельствует
о том, что связь между признаками прямая
(с ростом
увеличивается
значение
),
отрицательное значение – связь обратная
(с ростом
значение
уменьшается).
Для
оценки мультиколлинеарности факторов
используют матрицу парных коэффициентов
корреляции зависимого (результативного)
признака
с
факторными признаками 
,
которая позволяет оценить степень
влияния каждого показателя-фактора 
на
зависимую переменную
,
а также тесноту взаимосвязей факторов
между собой. Корреляционная матрица в
общем случае имеет вид
.
Матрица
симметрична, на ее диагонали стоят
единицы. Если в матрице есть межфакторный
коэффициент корреляции 
,
то в данной модели множественной
регрессии существует мультиколлинеарность.
Частный
коэффициент корреляции характеризует
тесноту линейной зависимости между
результатом и соответствующим фактором
при устранении влияния других факторов.
Если вычисляется, например, 
(частный
коэффициент корреляции между
и 
при
фиксированном влиянии 
),
это означает, что определяется
количественная мера линейной зависимости
между
и
,
которая будет иметь место, если устранить
влияние
на
эти признаки. Если исключают влияние
только одного фактора, получают частный
коэффициент корреляции первого порядка.
Сравнение
значений парного и частного коэффициентов
корреляции показывает направление
воздействия фиксируемого фактора. Если
частный коэффициент корреляции 
получится
меньше, чем соответствующий парный
коэффициент 
,
значит, взаимосвязь признаков
и
в
некоторой степени обусловлена воздействием
на них фиксируемой переменной
.
И наоборот, большее значение частного
коэффициента по сравнению с парным
свидетельствует о том, что фиксируемая
переменная
ослабляет
своим воздействием связь
и
.
Частный
коэффициент корреляции между двумя
переменными (
и
)
при исключении влияния одного фактора
( 
)
можно вычислить по следующей формуле:
.
(3.4.3)
Для других переменных формулы строятся аналогичным образом. При фиксированном
;
при
фиксированном 
.
46. Значимость парных коэффициентов корреляции
Корреляция - это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин. Мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции. Тесноту связи, например между переменными и по выборке значений , , оценивает линейный коэффициент парной корреляции: , (3.4.1)
где и – средние значения, и – стандартные отклонения соответствующих выборок.
Парный коэффициент корреляции изменяется в пределах от –1 до +1. Чем ближе он по абсолютной величине к единице, тем ближе статистическая зависимость между и к линейной функциональной. Положительное значение коэффициента свидетельствует о том, что связь между признаками прямая (с ростом увеличивается значение ), отрицательное значение – связь обратная (с ростом значение уменьшается).
Значимость
парных коэффициентов корреляции проверяют
по t-критерию
Стьюдента. Выдвигается гипотеза о
равенстве нулю генерального коэффициента
корреляции: 
.
Затем задаются параметры: уровень
значимости
и
число степеней свободы 
.
Используя эти параметры, по таблице
критических точек распределения
Стьюдента находят 
,
а по имеющимся данным вычисляютнаблюдаемое
значение критерия:
,
(3.4.2)
где 
–
парный коэффициент корреляции,
рассчитанный по отобранным для
исследования данным. Парный коэффициент
корреляции считается значимым (гипотеза
о равенстве коэффициента нулю отвергается)
с доверительной вероятностью 
,
если 
по
модулю будет больше, чем
.
Если переменные коррелируют друг с другом, то на значении коэффициента корреляции частично сказывается влияние других переменных.
Значимость
частных коэффициентов корреляции
проверяется аналогично случаю парных
коэффициентов корреляции. Единственным
отличием является число степеней
свободы, которое следует брать равным 
,
где 
–
число фиксируемых факторов.
На основании частных коэффициентов можно сделать вывод об обоснованности включения переменных в регрессионную модель. Если значение коэффициента мало или он незначим, то это означает, что связь между данным фактором и результативной переменной либо очень слаба, либо вовсе отсутствует, поэтому фактор можно исключить из модели.