7. Приклади розвязування задач Задача 7.1 Розрахунок лінійного електричного кола постійного струму.

Обсяг завдання. Провести аналіз лінійного розгалуженого кола постійного струму, зібраного із джерел ЕРС (Е) і приймачів струму – опорів R (рис. 5.1 – 5.10), та розрахувати коло за вихідними даними, вибраними з табл.5.1 і табл.5.2 з врахуванням вказівок до вибору варіанта, наступним чином:

1) спростити схему шляхом заміни послідовно та паралельно з’єднаних опорів еквівалентними;

2) визначити струми у вітках для спрощеної та вихідної схеми, застосувавши метод безпосереднього використання законів Кірхгофа або метод контурних струмів;

3) скласти баланс потужностей для вихідної схеми.

Методичні рекомендації до розрахунку.

Одним із важливих питань цього розділу є розрахунок розподілу струмів у розгалужених лінійних колах з кількома джерелами живлення (складних кіл). Для аналізу таких кіл використовують різні методи, зокрема використання законів Кірхгофа, контурних струмів, накладання, вузлових потенціалів, еквівалентного генератора тощо. Хоча основним методом розрахунку є метод безпосереднього використання законів Кірхгофа.

Алгоритми використання перших двох методів покажемо на прикладі числового розрахунку електричного кола, зображеного на рис.7.1 при R₁ = 5 Ом, R₂ = 10 Ом, R₃ = 15 Ом, R₄ = 20 Ом, R₅ = 15 Ом, R₆ = 10 Ом, R₇ = 40 Ом, R₈ = 60 Ом, E₁ = 40 В, E₂ = 30 В, E₃ = 20 В.

Важливим етапом розрахунку є визначення еквівалентного омічного опору R_eкв ділянки та всього кола, в результаті чого вдається спростити вихідну розрахункову схему. При цьому для послідовно з’єднаних n опорів R_і знаходять значення еквівалентного опору R_екв (Ом), а для m опорів, що з’єднані паралельно, розраховують еквівалентну провідність g_екв (См):

Послідовно ввімкнені опори та замінимо еквівалентним опором R_екв1 = R₄, Ом:

,

а паралельно з’єднані опори та – еквівалентним R_екв2 = R₆, Ом:

Тоді, після спрощення, вихідна схема буде така, як показано на рис.7.2.

Далі, незалежно від методу розв’язання задачі, спочатку потрібно визначити кількість віток m, електричних вузлів р та незалежних контурів k (таких, що відрізняються хоча б однією новою віткою і всередині яких немає віток) електричного кола.

Кількість незалежних контурів визначають за формулою:

.

Оскільки у кожній вітці кола проходить свій струм, то кількість невідомих струмів дорівнює кількості віток. Отже для визначення струмів віток треба скласти m рівнянь.

Для цього у разі розв’язання задачі методом законів Кірхгофа:

- довільно вибирають умовно позитивні напрями струмів у вітках, позначають ці напрями на схемі стрілками та підписують: І₁, І₂,…, І_m,;

- складають для (р – 1) вузлів рівняння за першим законом Кірхгофа ;

- вибирають k взаємно незалежних контурів та напрями обходу цих контурів (напрямки дії контурних струмів I_I , I_II , I_III), за рухом годинникової стрілки (чи проти нього), позначають відповідно їх на схемі і складають (m - р + 1) рівнянь за другим законом Кірхгофа .

У результаті дістають систему з m рівнянь, розв'язування якої дає змогу визначити не тільки величину струмів, а й їх дійсні напрями. Адже, якщо після розв’язування дістали від’ємний знак для будь-якого струму, то це означає, що його дійсний напрям є протилежний вибраному.

Для схеми, наведеної на рис.7.2, маємо: шість віток: AB, BC, CA, AD, BD,CD) та чотири вузли: A, B, C, D. У даному разі:

k = 6 - (4 - 1) = 3,

тобто маємо три незалежних контури: І – ACD; ІІ – ABD; ІІІ – CDB.

Далі довільно задаємось напрямками дії струмів у вітках (I₁–I₆) та напрямками обходу незалежних контурів кола (наприклад так, як показано на рис.7.2) і складаємо систему рівнянь:

– для вузла А;

– для вузла В;

– для вузла С;

– для контуру І;

– для контуру ІІ;

– для контуру ІІІ.

Після підстановки значень R₁...R₆, E₁...E₃ і розв‘язання системи відносно струмів (А) у вітках кола за даних умов задачі одержимо:

Примітка. У даному випадку маємо від’ємні значення струмів I₂ та I₅. Це означає, що попередньо вибрані напрямки дії цих струмів у вітках обрані неправильно і дійсні їх напрями треба вважати протилежними вказаним (але змінювати їх на протилежні не обов’язково).

Тепер визначимо струми у вітках, де були виконані спрощення.

У послідовно з’єднаних елементах та протікає один і той самий струм І₄, (А):

Для визначення струмів у вітках, що на вихідній схемі (рис.7.1) з‘єднані паралельно, обчислимо за законом Ома спад напруги U₆ (В) на еквівалентному опорі R₆:

Струми (А), що протікають через опори та , будуть відповідно:

У разі розв’язання задачі за методом контурних струмів для спрощеного кола довільно задаються напрямками обходу контурів - дії струмів у незалежних контурах, позначають їх (струми) I_I, I_II, I_III і т.д. та складають систему з k = m – (р – 1) рівнянь за другим законом Кірхгофа. Для контурів розрахункової схеми, показаної на рис.7.2, вона (система) має вигляд:

;

;

.

Д алі, після підстановки значень R₁...R₆, E₁...E₃ та розв‘язання системи рівнянь відносно контурних струмів (А), одержимо:

Примітка. У даному разі маємо від’ємне значення I_ІІ. Це означає, що напрямки дії цього струму у контурі ІІ (АВD) попередньо обраний неправильно і дійсним його напрямом треба вважати протилежний обраному. Змінюємо напрям цього струму, замінюючи при цьому знак при І_ІІ з мінуса на плюс.

Струми (А) у вітках, які належать одному контуру, дорівнюють відповідним контурним струмам:

Струми (А) ж у вітках, що є спільними для двох контурів, визначають як алгебраїчну суму відповідних контурних струмів з врахуванням напрямків їх дії у даній вітці. У випадку протидії струмів у вітці за напрям струму вітки приймають напрям струму, що більший за величиною. Тут:

Наносимо визначені напрями дії струмів у вітках на спрощену схему так, як показано на рис. 7.3.

Струми, що протікають через опори , , та визначаємо аналогічно, як описано вище.

Баланс потужностей (Вт) джерел P_дж та споживачів P_сп кола складають на підставі закону Джоуля–Ленца.

Зверніть увагу, що при розрахунку потужності джерела необхідно враховувати напрями дії ЕРС (напрям стрілки в умовному позначенні джерела) та струму у вітці. У разі, якщо вони не співпадають, то добуток ЕІ записують зі знаком мінус.

Задачу вважають розв’язаною, якщо відносна розбіжність результатів розрахунків P_дж і P_сп не перебільшує 1,0 %:

.

У даному разі задача вирішена правильно.