ФГБОУ ВО СГУГиТ

Институт оптики и оптических технологий

Кафедра физики

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Новосибирск

2017

СОДЕРЖАНИЕ:

Раздел 1. Введение

1.1. Предмет и задачи математической физики.

Дифференциальные операторы Гамильтона и Лапласа.

Раздел 2. Уравнения и задачи математической физики

2.1. Уравнения колебаний:

а) поперечные колебания струны;

б) продольные колебания упругого стержня;

в) поперечные колебания мембраны;

г) телеграфное уравнение.

2.2. Уравнение диффузии и теплопроводности.

2.3. Стационарные уравнения:

а) уравнение электростатики;

б) уравнение гидродинамики.

2.4. Классификация уравнений второго порядка:

а) классификация уравнений в точке;

б) классификация уравнений с двумя независимыми переменными.

2.5. Преобразование уравнений второго порядка с помощью замены переменных:

а) в уравнения гиперболического типа;

б) в уравнения параболического типа;

в) в уравнения эллиптического типа.

2.6. Классификация задач математической физики:

а) задача Коши;

б) краевая задача для уравнений эллиптического типа;

в) смешанная задача.

2.7. О корректности поставленной задачи и единственности решения задачи математической физики.

Раздел 3. Метод Фурье

3.1. Уравнения с разделяющимися переменными.

3.2. Задача Дирихле для круга.

3.3. Задача Штурма-Лиувилля.

3.4. Фундаментальная система решений задачи Штурма-Лиувилля.

Разложение в ряд по собственным функциям.

3.5. Метод Фурье для случая двух переменных.

Раздел 4. Специальные функции и интегралы

4.1. Интегралы Эйлера (1-го и 2-го рода).

4.2. Функции Бесселя и Вебера. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя.

4.3. Интегральные представления для цилиндрических функций.

4.4. Разложение функций в ряды Фурье-Бесселя.

4.5. Сферические функции. Полиномы Лежандра. Рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра.

Раздел 1. Введение

1.1. Предмет и задачи математической физики.

Методы математической физики начали формироваться при изучении колебаний струн и стержней, а также решении задач, связанных с акустикой и термодинамикой. Позднее идеи математической физики получили новое развитие в связи с задачами теплопроводности, диффузии, упругости, оптики и электродинамики. В ХХ-м веке в математическую физику включаются задачи квантовой физики и теории относительности, а также новые проблемы газовой динамики, переноса частиц и физики плазмы.

Многие задачи классической математической физики сводятся к краевым задачам для дифференциальных (интегрально-дифференциальных) уравнений.

Основными математическими средствами исследования этих задач служат теория дифференциальных уравнений, теория функций, функциональный анализ, теория вероятностей, вычислительная математика.

Среди задач математической физики выделяется важный класс корректно поставленных задач, то есть задач, для которых решение существует, единственно, и непрерывно зависит от данных задачи.

Доказательство корректности – это первая апробация математической модели:

1. модель непротиворечива (решение существует);

2. модель однозначно описывает физический процесс (решение единственно);

3. модель мало чувствительна к погрешностям измерений физических величин (решение непрерывно зависит от данных задачи).

1.2 Дифференциальные операторы математической физики.

Градиент – векторная функция, аргументом которой является скалярная функция точки:

;

производная по направлению : ;

очевидно, что .

Дивергенция – скалярная функция аргументом, которой является векторная функция точки :

.

Ротор (вихрь) – векторная функция, аргументом которой является векторная функция точки.

,

удобно выразить в виде .

Оператор Гамильтона (оператор набла) - ;

применительно к скаляру ;

применительно к векторной функции ;

векторное произведение двух векторов дает:

;

Оператор Лапласа (лапласиан) – оператор вида

применительно к скалярной функции ;

применительно к векторной функции ,

так как

аналогично получаем .

Дифференциальные операторы в криволинейных системах координат.

1. Полярная система координат.

Координаты полярной с.к.:

_{угловая величина} - ; радиус-вектор - _.

_{Оператор Лапласа}

2. Цилиндрическая система координат

Координаты цилиндрической с.к.:

радиус-вектор - ; угловое отклонение - ; высота -z .

_{Оператор Лапласа} .

3. Сферическая система координат

Координаты сферической с.к.:

радиус-вектор - ; угловое отклонение - ; отклонение по высоте - .

_{Оператор Лапласа:} .