§ 3.1 Гармонический осциллятор
Электромагнитное поле можно рассматривать как совокупность некоторых осцилляторов. В этой связи рассмотрим квантование движения одномерного гармонического осциллятора с потенциальной энергией
П(x)
=
=
m
,
где
ωo
=
.
Стационарное уравение Шр. имеет вид:
+ (ℇ - m ) ψ =0
В этом случае при ℇ П(х) решение представляет осциллирующую стоячую волну. В основном состоянии ψ(х,t) не имеет узлов, а в каждом последующем число их растёт на единицу.
За
пределами классических точек поворота
xn
=
функция ψn
убывает по экспоненте и решение ищут в
виде функции Гаусса.
Опуская детали, отметим не выходя на полиномы Эрмита:
энергия состояний осциллятора квантована
ℇn = (n+ ) ħωо, n = 0, 1, 2, …
Уровни эквидистантны и при n = 0 энергия конечна и не равна нулю. Её называют энергией нулевых колебаний. Эти результаты присущи только квантовому решению и играют выдающуюся роль (при квантовании электро-магнитного поля).
§ 3.2 Момент импульса в квантовой физике
Особенности задания м.и.
При движении в трёх измерениях важнейшей величиной оказывается момент импульса
=
[
]
Для электрона в атоме, испытывающего вращение и смещения, эта характеристика незаменима.
Эта величина сохраняется при движении в центрально симметричном поле или в изолированной системе.
В класс. механике собственным моментом может обладать только система частиц, в квантовой он присущ и отдельным частицам.
Собственный момент частицы называют спином и он - важнейшее её свойство.
Момент импульса квантовой частицы не может быть задан с одновременным определением всех трёх проекций типа Lx (следствие соотношения неопределённостей Гейзенберга). Обычно задают одну из них - Lz и модуль вектора │ │. Наглядность выбора более понятна при использовании цилиндрической системы координат. В них:
Lz = ρpφ ; Lx = ypz = ρ sin φ· pz ; Ly = -xpz = ρ cos φ· pz
L
= ρ
Квантование момента импульса
Выясним спектр собственных (доступных) значений для стационарных состояний. Сама ψ(r,t) должна одновременно удовлетворять двум уравнениям на собст. значения
z
ψ
= Lz
ψ (3.1)
2 ψ = L2 ψ (3.2)
Решения дают зависимость ψ от угловых переменных в состояниях
= const.
z
= ρ
φ
= - jℏ
ρ
= - jℏ
Общим решением является
ψ(r, θ) = А(r, θ) e( Lz·φ/ℏ) = A exp(jmL φ)
Оно имеет вид бегущей волны де Бройля, где можно полагать pφ = ℏkφ
Во-первых
ψ (φ + 2 π) = ψ (φ),
Во-вторых
Lz
= m
ℓ
ℏ,
где
m
ℓ
mL
=
0,
1,
2,
3…
- квантовое число
│m
ℓ
│
l
Спектр значений его: - ℓ, - ℓ +1, - ℓ +2… -1, 0, +1, …. ℓ -1, ℓ
всего 2 ℓ +1 зачений.
§ 3.3 Квадрат орбитального м.И. (3.3.1.) Результирующий момент
Квадрат м.и.
Решение (3.2) является сложной процедурой. Обсудим следствия.
Поскольку L2 и Lz могут заданы одновременно, они соответственно должны определяться через квантовое число ℓ. Т.к. Lz 2max. =ℏ2 ℓ 2, то разумно положить, в силу того, что ℓ целое
L2 = ℏ2ℓ(ℓ +1) (3.3) ,
ℓ = 0, 1, 2… , см. рис.
Квантовое число ℓ называют орбитальным. Оно определяет все угловые хар-ки движения, в том числе и Lz.
По определению: L2 = L2 и L x2 = L y2 = L z2
3.3.2 Сложение моментов и.
Нужно учесть, что результирующий (суммарный) м.и. находится из векторного сложения i . Для модуля итогового вектора по-прежнему
L
=ℏ
и
L
z
=ℏMz
L – квантовое число результирующего момента при заданных числах ℓ 1 , ℓ 2 , ℓ 3 ,… Для определения L достаточно знать Lmax и Lmin . В этом случае
Lmax
=
. Для
двух частиц
Lmax
=
ℓ
1+
ℓ
2
Lmin
=
│
ℓ
1-
ℓ
2│.
L может принимать такие значения:
ℓ 1+ ℓ 2, ℓ 1+ ℓ 2-1, ℓ 1+ ℓ 2-2, …., │ ℓ 1- ℓ 2 │
всего 2 ℓ m +1 значений, где lm меньшее из двух ℓ 1 и ℓ 2 .