34.Матрицалардың көбейтіндінің анықтауышы

1.2.3. Умножение матрицы на матрицу

Умножать друг на друга можно только те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. Результатом умножения является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов совпадает с числом столбцов второго сомножителя. Пример. Иными словами, перемножать можно те матрицы, у которых совпадают средние индексы. Крайние индексы определяют размерность получаемого результата Элемент ci,j матрицы – ответа принадлежащий i-ой строке и j-му столбцу, вычисляется как произведение i-ой строки первого сомножителя An,m на j-ый столбец второго сомножителя Bm,k. Так, например, при вычислении элемента умножается первая строка на третий столбец, а при вычислении элемента умножается третья строка на первый столбец. Можно перемножать только те строки и столбцы, у которых одинаковое число элементов (смотри условие возможности умножения матриц). В результате получается число, равное сумме произведений соответствующих элементов (первый элемент строки на первый элемент столбца плюс второй элемент строки на второй элемент столбца и т. д. и, наконец, плюс произведение последних элементов). Рассмотрим умножение матриц на примере :

где

Пример.

Отметим основные свойства операции произведения матриц.

1) В общем случае . Если то матрицы А и В называются перестановочными по отношению друг к другу.

2)

3)

4) При умножении любой квадратной матрицы на единичную первоначальная матрица не меняется

35. Транспозицияланған матрица

Транспонированная матрица — матрица A T {\displaystyle A^{T}} , полученная из исходной матрицы A {\displaystyle A} заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы A {\displaystyle A} размеров m × n {\displaystyle m\times n}  — матрица A T {\displaystyle A^{T}} размеров n × m {\displaystyle n\times m} , определённая как A i j T = A j i {\displaystyle A_{ij}^{T}=A_{ji}} .

Например,

[ 1 2 3 4 ] T = [ 1 3 2 4 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}     и      [ 1 2 3 4 5 6 ] T = [ 1 3 5 2 4 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}

То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

• ( A T ) T = A {\displaystyle (A^{T})^{T}=A}Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

• ( A + B ) T = A T + B T {\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

• ( A B ) T = B T A T {\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

• ( λ A ) T = λ A T {\displaystyle (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}}При транспонировании можно выносить скаляр.

• det A = det A T {\displaystyle \det A=\det A^{T}} Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.