28. Ақырлы өрістердің бар болуы және жалғыздығы
а) қарапайым өріс үстіндегі екімүше
б) осы екімүшенің түбірлер саны
в) ақырлы өрістің элементтер саны
г) бар болу және жалғыздық теоремасы
Существование и единстенность коечных полей
а) двухчлен над простым коечным полем
б) количество элементов конечных полей
в) теорема существование и единственности
(30 балл)
Коне́чное по́ле, или по́ле Галуа́ в общей алгебре — поле, состоящее из конечного числа элементов. Число элементов в поле называется его поря́дком.
Конечное поле обычно обозначается F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} или G F ( q ) {\displaystyle \mathrm {GF} (q)} (сокращение от Galois field) и называется полем Галуа порядка q {\displaystyle q} [1], где q {\displaystyle q} — число элементов поля. С точностью до изоморфизма конечное поле полностью определяется его порядком, который всегда является степенью какого-нибудь простого числа, то есть q = p n {\displaystyle q=p^{n}} , где p {\displaystyle p} — простое число, а n {\displaystyle n} — любое натуральное число. При этом p {\displaystyle p} будет являться характеристикой этого поля[2].
Понятие конечного поля используется в теории чисел[3], теории групп[3], алгебраической геометрии[3], криптографии
Поле с простым числом элементов и связь с кольцами вычетов[править | править вики-текст]
[10].
Это поле можно представить следующим
образом. Для простого числа p
{\displaystyle p}
элементами
поля будут числа {
0 , 1 , . . . , p − 1 } {\displaystyle \{0,1,...,p-1\}}
.
Сложение и умножение определены как
сложение и умножение чисел с приведением
результата по
модулю
p
{\displaystyle p}
[11].
Ниже приведены примеры таких полей с
двумя элементами
и тремя
элементами.
Любое
поле простого порядка может быть
представлено кольцом вычетов (т.е. любое
поле из p
{\displaystyle p}
элементов
изоморфно
полю Z
/ ( p ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(p)}
).
Однако не каждое конечное поле является
кольцом вычетов, и не каждое кольцо
вычетов по модулю натурального числа
n
{\displaystyle n}
является
полем. Кольцо Z
/ ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
является
полем тогда и только тогда, когда n
{\displaystyle n}
—
простое число[12].
Если же n
{\displaystyle n}
—
составное число, то не все ненулевые
элементы кольца Z
/ ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
обратимы.
Например, Z
/ ( 4 ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(4)}
—
не поле, так как элемент 2 2
{\displaystyle 2} в
этом кольце не обратим. Тем не менее,
существует поле, состоящее из четырёх
элементов (см. ниже).
29. Ақырлы өрістің реттелмегендігі
А)акырлы өріс аксиомалары
Б)реттік қатынас
В)реттелген өріс
F – өріс |F| => ∞
1 ϵ F 1, 2, 3….n ϵ F
m = 1+1+1+…+1=0
|
m құрама болуы мүмкін емес. Себебі,
m = m1 * m2 => m1 ≠ 0, m2 ≠ 0
m1 * m2 = m = 0 =>m2 = 0 қайшылық енгіземіз m – жай сан
m саны өрістің сипаттамасы деп аталады және ол жай сан болады. Сондықтан Zp ϵ F. ішкі өріс. F, Zp – өрістің үстінде векторлық кеңістікте болады.
|F|< ∞ => lim F < ∞
∀ ∞ F => x = 2x1+d2x2+…. +dnxn
d1 , d2 , …. dn ϵ Zp = { 0, 1, 2, … p-1}
|F| = pn
Zp = { 1, 2, 3, … p-1}
f(x) = xp-1 – x ϵ Z [x]
Көпмүше аламыз
P’(x) = pn * pn-1 – 1 = -1
EOБ (f, f’) = -1
f пен f’ ортақ түбірлері жоқ.
V(f) = { d|f(d)| = 0}
|V(f)| = pn
V(f) – өріс құрайды
F(d) = 0 = f(b) =>dpn =d
bpn=b => (db)pn = dpn * bpn = d*b = F(d*b)=0=> d*b - түбір
(d+b)p = dp + bp
P
(d+b)p = Σ = (pk) dk – bp-k
k=0
(pk) = p!/k!(p-k)! = 0 d<k-p
(d+b)p = dp + bp
(d+b)pn = ((d+b)p) pn-1 = (dp + bp) pn-1 = (d p) pn-1 + (b p) pn-1 = dpn + bpn = d+b
(d-1)pn = (dpn)-1 =d-1 =>f(d-1) = 0
(-d)pn = (-1)pn * dpn = -dpn => f(-d) = 0
(d+b)p= dp + bn
(d+b)p = ((d+b)pn-1)p = (dpn-1)p + (bpn-1)p = dpn + bpn = d+b =>0
(d-1)pn = (dpn)-1 = d-1 => f(d-1) = 0
(-d)pn = (-1)pn * dpn = -dpn => f(-d) = 0
(V(f), +, *, 0, 1, -, :) – өріс