Физический расчет

Расчет физических характеристик активной зоны

Поскольку реактор гетерогенный, начинаем расчет с определения объемов в ячейке, приходящихся на 1 см, высоты.

Объем графитовой втулки

см².

Объем графитового кирпича

см².

Объем стали

см².

Объем воды

см².

Объем урана

см².

Остальную часть объема ячейки занимают зазоры. Содержащийся в них газ можно в расчете не учитывать.

Далее нужно вычислить по формуле (11) или найти по таблицам ядерные плотности веществ . В справочнике [7] находим:

для графита

= 0,080310²⁴ ядер/см³ при = 1,60 г/см³;

для воды

= 0,033510²⁴² молекул/см³ при =1,00 г/см³;

для урана

= 0,047810²⁴ ядер/см³ при = 18,9 г/см³.

Определим среднюю плотность воды в нашем реакторе. Во входных трубках вода нагревается от =200°С до температуры

⁰С,

а в выходных - от 238,6 ⁰С до = 290⁰С.

Во входных трубках

г/см³.

В выходных

г/см³.

Средняя по ячейке плотность воды

г/см³.

Ядерные плотности веществ в реакторе:

ядер/см³;

молекул/см³;

ядер/см³, причем

ядер/см³;

ядер/см³.

Сталь представляет собой смесь многих элементов. Ядерная концентрация каждого из них в 1 см³ стали вычисляется по формуле

ядер/см³,

где

г/см³ - плотность стали; - весовая концентрация -го элемента в стали.

Для стандартных смесей, таких, как сталь, удобно вычислить все макроскопические сечения заранее. Сделаем это с помощью табл. 2.

ТАБЛИЦА 2

Элемент	А	g	, 1024, ядер/см3	а, барн	s, барн			а, см-1	, см-1	s, см-1
Fe Cr Ni Ti Mn	55,8 52,0 58,7 47,9 54,9	0,707 0,180 0,090 0,008 0,015	0,0607 0,0166 0,00733 0,00080 0,00131	2,53 2,9 4,6 5,8 13,2	11 3,0 17,5 4 2,3	0,988 0,987 0,989 0,986 0,988	0,0353 0,0385 0,0335 0,0411 0,0359	0,1535 0,0481 0,0337 0,0046 0,0173	0,660 0,04991 0,1270 0,0032 0,0030	0,0236 0,0019 0,0043 0,0001 0,0001

Нейтронные сечения для компонентов стали взяты из справочника [17]. В составе стали учтены только наиболее важные с точки зрения нейтронной физики элементы; приведены для нейтронов эв, а и будем считать не зависящими от энергии.

Для нейтронов Е = 0,025 эв

см^-1;

см^-1;

для надтепловых нейтронов (нейтронов первой группы) принимаем

см^-1,

см^-1.

Вычислим теперь макроскопические параметры гомогенизированной активной зоны, нужные для оценки температуры тепловых нейтронов, а именно и . Для этого составляем табл. 3, в которой величины при энергии эв взяты из справочника [6] (стр. 181).

ТАБЛИЦА 3

Вещество	V, см2	, 1024, ядер/см3	а(0,025), барн	s, барн		, барн	, см	, см
U235	7,91	0,000954	694	10	–	–	5,24	–
U238	7,91	0,0468	2,71	8,3	–	–	1,00	–
C		0,0828	0,003	4,8	0,158	0,758	0,08	19,3
H2O	3,52	0,0272	0,66	–	–	42,5	0,06	4,1
Сталь	1,60	–	–	–	–	–	0,41	0,0
							6,79	23,4

В действительности термализация нейтронов происходит при меньших энергиях, но для этих энергий сведения о замедляющих свойствах веществ еще весьма неполны. Кроме того, сама схема расчета спектра тепловых нейтронов (заключающаяся в определении и Е_гр) - довольно грубая.

Для молекулы воды

барн.

Замедляющая способность урана пренебрежимо мала и поэтому не учитывается.

Для стали

см;

см.

Для гомогенизированной активной зоны получаем согласно табл. 3

см^-1;

см^-1.

Температуру нейтронного газа оценим по формуле (31). Температура замедлителя Т₀ (средняя по объему активной зоны) определяется, вообще говоря, расчетом процессов тепловыделения и теплопередачи в кладке реактора. Допустим, что

450⁰С = 723⁰К.

Пересчитываем на эту температуру, предполагая, что справедлив закон :

см^-1.

Следовательно,

⁰К.

Учитывая приближенность этой цифры, ее можно округлить, приняв

900⁰К.

Далее найдем средние сечения для тепловых нейтронов (см. § 4 и 6). Используя формулу (34), выбираем .

Для 900⁰К и 5 находим в справочнике [6]

барн.

Сечения прочих элементов усредняются путем умножения на коэффициент

Пересчитывая данные табл. 3, получаем

см^-1.

Вычисляем правую часть формулы (34):

.

На рис. 3 этой величине соответствует . Чтобы не усложнять пример, будем считать, что совпадение заданного и полученного удовлетворительное. Примем в расчет , найденные для .

Теперь для учета гетерогенности разобьем ячейку на две зоны. Удобно принять в качестве радиуса блока наружный радиус графитовой втулки:

см, см;

см², см².

Вычисляем усредненные физические параметры для тепловых нейтронов отдельно в каждой зоне ячейки. Для блока составляем табл. 4, в которой величины получены в соответствии с указаниями, данными в § 4, по формулам (25) и (28).

ТАБЛИЦА 4

Вещество	, см2	, 1024 ядер/см3	, барн	, барн	, барн	, см	, см	, см
U235	7,91	0,000954	330	340	–	2,50	2,6	–
U238	7,91	0,0468	1,40	9,70	–	0,52	3,6	–
C	23,7	0,0828	0,00155	4,53	0,758	0,00	8,9	1,49
H2O	3,52	0,0272	0,341	39,4	42,5	0,03	3,8	4,06
Сталь	1,60	–	–	–	–	0,21	1,5	0,05
						3,26	20,4	5,60

Для стали

см^-1;

для графита

барн;

для воды

барн.

Пользуясь данными табл. 4, находим

см^-1;

см^-1;

см^-1.

Для второй зоны ячейки примем параметры чистого графита. Учет зазоров во второй зоне затруднителен, так как они расположены на ее границах. Лучше в этом расчете вообще не принимать их во внимание. Пренебрежем также поглощением во второй зоне и будем, следовательно, пользоваться формулами (43). Производим вычисления в порядке, указанном в § 7.

В первой зоне:

см;

см^-1;

Во второй зоне:

см^-1;

см;

см^-1;

He следует придавать какое-либо значение абсолютным величинам и размерности ' и ", так как потоки определяются здесь с точностью до произвольного общего множителя. Для дальнейшего расчета важно только отношение

Теперь приступим к расчету коэффициента размножения

Коэффициент теплового использования вычисляем с учетом гетерогенности по формуле (46):

Заметим, что в данном примере неравномерность распределения нейтронов по ячейке мало сказывается на величине , поскольку основные конкурирующие с ураном-235 поглотители (U²³⁸, сталь, вода) сосредоточены в блоке, т.е. облучаются тем же средним потоком ', что и U²³⁵.

Для вычисления v_a находим в справочнике [6] при х_гр=5 и =900⁰К

барн.

По формуле (48) получаем

Коэффициент будем рассчитывать по формулам (54) и (55), т.е. с учетом гетерогенности. Ввиду сложности конструкции канала (семь тесно расположенных кольцевых элементов с замедляющим веществом внутри) расчет будет довольно грубым, однако из физических соображений ясно, что величина должна быть близка к единице.

Пусть блоком является та же самая область ячейки, что и при расчете , с радиусом = 3,5 см. Для расчета и составляем табл. 5, пренебрегая ураном-235, а вместо стали принимая железо (так как при больших энергиях их ядерные характеристики отличаются незначительно).

ТАБЛИЦА 5

Вещество	, см2	, 1024 ядер/см3	, барн	, барн	, барн	, см	, см	, см
U238 C H2O Fe	7,91 23,74 3,52 1,60	0,0468 0,0828 0,0272 0,0848	0,56 – – –	2,10 0,10 1,52 0,70	4,3 1,7 3,0 2,2	0,207 – – –	0,777 0,196 0,145 0,095	1,59 3,34 0,28 0,30	2,90 – – –
							1,213	5,52

Вычисляем по данным табл. 5:

см^-1;

см^-1;

см^-1;

На рис. 4 находим

Учитывая, что шаг ячеек реактора довольно велик, принимаем:

Определяем :

Коэффициент получаем по формуле (72). Для учета эффекта Допплера нужна средняя температура урана, которая должна быть найдена при расчете теплопередачи в тепловыделяющих элементах. Пусть

350⁰С=623⁰К.

Блоком теперь будет называться каждый отдельный тепловыделяющий элемент без оболочки. Выпишем размеры блока:

см;

см.

Следовательно:

см;

см²;

см.

Отдельно вычислим знаменатель формулы (72), принимая для воды (см. примечания к формуле) и используя данные табл. 3,

см.

Подставляя все эти величины в выражение (72), получаем

Отсюда

По формуле четырех сомножителей находим

Определим теперь усредненные диффузионные параметры для тепловой и надтепловой группы: и .

Для тепловых нейтронов

см^-1

( вычисляется методом простой гомогенизации). Следовательно,

см;

см².

Для определения (1 эв) составим табл. 6.

При этом пренебрежем поглощением всех элементов, и для простоты будем считать, что U²³⁵ не, отличается от U²³⁸, учитывая, что вклад U²³⁵ в величину весьма невелик. Воду можно представить как смесь ядер водорода и кислорода. Для стали принимаем (см. табл. 2)

ТАБЛИЦА 6

Вещество	, см2	, ядер/см3	(1 эв), барн		(1 эв), барн	, см
U C H O Сталь	7,91 307 3,52 3,52 1,60	0,0478 0,0828 0,0544 0,0272 –	8,3 4,8 20,5 3,8 –	0,997 0,944 0,339 0,958 –	8,28 4,53 6,95 3,64 –	3,12 115,2 1,33 0,35 1,34
						121,30

В результате получим для гомогенизированной активной зоны

см^-1;

см.

Квадрат длины замедления вычислим по формуле (79). Для этого сначала найдем

Коэффициенты берем из книги [12]. Расчет удобно вести с помощью табл. 7.

ТАБЛИЦА 7

	i	U	C	H2O	Сталь
	Vi i табл сi	7,91 18,9 18,7 0,0244	307 1,65 1,67 0,925	3,52 0,812 1,0 0,00871	1,60 – – 0,00488
j	сj	Коэффициенты
U C H2O Сталь	0,0244 0,925 0,00871 0,00488	2,4 42 500 31	– 32 440 120	– – 323 1400	– – – 61
		43,4	34,0	9,65	0,298

Сталь приравнена железу без учета разницы в плотностях, а обогащенный уран - естественному. По таблице находим

см².

Эта величина соответствует нижней границе замедления = 0,2эв. В нашем случае

эв,

следовательно, нужно убавить на величину

см².

Итак, для активной зоны реактора

см².

Расчет реактивности реактора

Чтобы убедиться в работоспособности реактора при заданном обогащении горючего, оценим коэффициент размножения k по формулам (81) и (82), задавшись приближенными величинами и . Примем для бокового и нижнего отражателя см, для верхнего отражателя с учетом того, что он содержит довольно много стали см. Тогда

см;

см;

см^-2.

По формуле (81) находим

Очевидно, свежезагруженный реактор - надкритический и, судя по величине k-1, способен работать продолжительное время. Для уточнения k требуется расчет эквивалентных добавок. В качестве примера рассчитаем боковую добавку. Предварительно определим необходимые физические характеристики бокового отражателя, предполагая, что он состоит из чистого графита = 1,6 г/см³.

Следует отметить, что проблема расчета физических характеристик отражателя гораздо сложнее, чем может показаться на первый взгляд. Например, такую важную величину, как , уже нельзя в принципе определять по формуле (77), поскольку в отражателе практически нет нейтронов спектра деления. Быстрые нейтроны, проникающие в отражатель из активной зоны, имеют в среднем меньшую энергию, чем при рождении. Кроме того, спектр нейтронов в отражателе существенно зависит от расстояния до границы активной зоны. Не вполне ясно также, каким образом учитывать в малогрупповом расчете термализацию нейтронов в отражателе, можно ли использовать понятие температуры нейтронного газа и, если можно, то как её определить. В связи с этим расчет параметров отражателя будет сделан весьма упрощенно.

Предположив, что отражатель и замедлитель активной зоны имеют одинаковую температуру, и, учитывая, что в отражателе величина мала, примем для него

Тогда

барн.

Для тепловых и надтепловых нейтронов

барн.

Плотность графита равная 1,6 г/см³, соответствует ядер/см³. Следовательно, для отражателя:

см^-1;

см^-1;

см;

см².

Табличное значение см² для чистого графита при плотности г/см³ [1] пересчитываем на плотность графита в отражателе, равную 1,60 г/см³,

см².

Для отражателя эта величина завышена, но уточнить ее, не прибегая к многогрупповому методу, невозможно. Тем не менее, результаты расчета обычно получаются удовлетворительными.

Далее расчет следует вести по схеме, изложенной в § 15. Для первого приближения используем ранее принятые величины добавок и , значит,

см^-2;

см^-2;

см^-1;

см^-1;

см^-1.

Поскольку

см

и толщина отражателя см,

см.

Выпишем в табл. 8 нужные значения бесселевых функций из книги [10]. Для больших аргументов (бóльших десяти) используем асимптотические формулы, имеющиеся там же.

ТАБЛИЦА 8

14,18	1,538105	1,483105	–	–
1,958	2,21	1,529	0,1199	0,1478
7,00	168,6	156,0	0,000425	0,000454
3,03	5,00	–	0,0336	–
10,84	0,625104	–	0,73810-5	–

Далее вычисляем:

см^-1;

см^-1;

Найденные величины подставляем в формулу (92), чтобы определить а. Так как выражение получается довольно громоздкое, приведем только окончательный результат:

см^-1.

Из рис. 6 находим корень трансцендентного уравнения (101) х = 1,75. С помощью таблиц уточняем эту величину:

х = 1,740.

Отсюда

см^-1;

см;

см.

Аналогичным способом по формулам (103) - (106) вычисляются добавки и . Но мы не будем делать этого в нашем примере и оставим ранее принятые величины:

= 50 см; = 40 см; = 340 см.

Таким образом, для эквивалентного реактора без отражателей радиальный геометрический параметр

см^-2;

осевой геометрический параметр

см^-2,

см^-1

и полный геометрический параметр

см^-2.

Коэффициент размножения реактора

Является ли запас реактивности разумным, зависит от требуемой длительности кампании, допустимой степени выгорания урана, а также от возможности скомпенсировать реактивность в начале кампании.

Вычислим коэффициенты неравномерности k_r, k_z и k_V, которые нужны для уточнения теплового расчета. По приближенным формулам (137), (138) находим:

Из-за всплеска тепловых нейтронов вблизи отражателя (всплеск в рассматриваемом реакторе должен быть значительным) действительные коэффициенты неравномерности будут несколько меньшими. Очевидно, принятые ранее значения и завышены, а это значит, что при заданной мощности можно уменьшить размеры реактора или при тех же размерах снизить величину . В физическом расчете размеры реактора влияют практически только на величину (при этом эквивалентные добавки можно считать неизменными). Значит, если конструкция ячеек и обогащение горючего не меняются, пересчет реактора с измененными размерами не потребует большого труда.

При изменении изменится средняя температура урана и замедлителя, что в принципе повлияет на коэффициенты и другие характеристики активной зоны. В этом случае придется повторить несколько большую часть физического расчета.

Расчет изотопного состава и реактивности в зависимости от времени работы реактора

Сначала вычисляем удельную мощность. Так как в каждой ячейке на 1 см высоты приходится 7,91 см³ урана, число рабочих ячеек равно 128 и высота активной зоны 250 см, то

квт/см³.

Для энергетических реакторов такая величина считается сравнительно небольшой, поэтому кампания реактора может быть продолжительной (если судить только по скорости выгорания урана). Исследуем изотопный состав горючего после примерно годового срока непрерывной работы реактора на номинальной мощности. Усредненные по спектру Максвелла сечения изотопов (при Т_п = 900°К и 5) приведены в табл. 9.

ТАБЛИЦА 9

Элемент	, барн	, барн
U238	1,398	–	0,00424	–	–
U235	330	278	1	0,842	2,08
Pu239	1450	868	2,70	2,63	1,74
Xe135	1,42106

Пусть суток. Оценим без учета накопления плутония:

.

По отношению к начальной концентрации это составляет

или 21,1%.

Оценим коэффициент воспроизводства ядерного горючего по формуле (155). Для простоты всюду полагаем

но это, конечно, не является общим правилом:

При таком сравнительно большом коэффициенте воспроизводства нужно рассчитывать концентрацию U²³⁵ и Ри²³⁹ по формулам (143) и (144). Зададимся . Тогда

ядер/см³.

Следовательно,

ядер/см³;

Теперь вычислим по формуле (146) время работы реактора, соответсвующее :

Для сравнения вычислим время работы реактора при том же выгорании урана без учета накопления плутония. Из выражения (141) следует

суток.

Как видим, за счет плутония средняя скорость выгорания урана уменьшается в данном случае примерно на 20%. Кроме того, большая часть образовавшегося плутония остается в реакторе и может быть извлечена химическим способом.

Поскольку при расчете ядерных концентраций изотопов не учитывается баланс нейтронов, реактор в момент времени t может оказаться подкритическим, и тогда, очевидно, такой срок работы в действительности недостижим. Если, наоборот, окажется, что >1, реактор сможет проработать дольше. Для определения реактивности в момент времени t нужны концентрации шлаков и отравляющих осколков (точнее, их макроскопические сечения).

По формуле (148) находим

см^-1.

Сечения Хе¹³⁵ и Sm¹⁴⁹ рассчитываем по асимптотическим формулам (149) и (150). Для этого сначала вычисляем суммарное сечение деления для смеси изотопов, нужное для определения величины ,

см^-1.

Затем получаем и :

нейтрон/(см²сек);

см^-1;

см^-1.

Подсчитаем суммарное сечение поглощения делящихся изотопов и усредненную величину :

см^-1;

Теперь вычислим и реактора с учетом всех изменений в изотопном составе топлива. Концентрация U²³⁵ практически не меняется. Все продукты деления заключены в объеме и, следовательно, относятся к первой зоне ячейки. Найдем для этой зоны величину .

При = 384 дня

Считая, что отношение остается неизменным, получаем

см^-1.

Интересно заметить, что, несмотря на выгорание урана, сечение захвата активной зоны увеличилось главным образом за счет появления плутония, сечение захвата которого примерно в четыре с половиной раза больше сечения захвата U²³⁵. Конечно, некоторый вклад дают также шлаки, Хе¹³⁵ и Sm¹⁴⁹.

Вследствие изменения необходимо пересчитать и :

см².

Поскольку другие параметры от изотопного состава горючего практически не зависят, то в момент времени t

Задавая другие значения , можно построить кривую и найти такое значение t, при котором . Эта точка и определяет теоретическую кампанию реактора. Нужно только заметить, что в таком расчете не учитывается неравномерность выгорания урана. Поскольку в центре реактора уран выгорает с большей скоростью, чем в среднем по активной зоне, действительный коэффициент размножения реактора уменьшается несколько быстрее расчетного и кампания соответственно будет меньшей. Учет этого обстоятельства привел бы к необходимости решать нелинейные уравнения баланса нейтронов, в которых макроскопические сечения среды зависят от потока нейтронов и изменения его во времени. На практике выгорание в большой степени выравнивается посредством периодической перестановки каналов в активной зоне.

Судя по величине , можно ожидать, что кампания рассматриваемого реактора получится равной примерно двум годам. Если такой срок работы по каким-либо причинам нереален (например, вследствие ограниченной стойкости тепловыделяющих элементов) или невыгоден, то выбранное обогащение горючего следует признать слишком большим и принять вариант с меньшим обогащением. Можно, конечно, не уменьшая обогащения, уменьшить толщину тепловыделяющего слоя, т.е. несколько изменить размеры тепловыделяющих элементов.

Чтобы найти вес загруженного урана и количество образовавшегося за время t плутония, переведем ядерные концентрации изотопов в весовые с помощью формулы (11)

г/см³.

В свежезагруженном реакторе (в начале кампании)

г/см³;

г/см³.

После 384 суток работы

г/см³;

г/см³.

Умножая весовые концентрации на объем урана в реакторе, равный

см³,

получаем величину загрузки урана в начале кампании

г  94 кг;

г = 4678 кг

и количество U²³⁵ И Ри²³⁹ после 384 суток работы

г  73 кг;

г  10 кг;

Очевидно, в течение 384 суток сгорает U²³⁵

кг,

что соответствует удельному расходу горючего

г/(Мвтсутки).

Без воспроизводства горючего эта же величина равна примерно 1,3 г/(Мвтсутки).

Расчет компенсирующей способности регулирующих стержней

Предположим для примера, что регулирующие стержни имеют радиус см. Вычислим сначала компенсирующую способность стержня, помещенного в центр активной зоны. Поскольку учет поглощения промежуточных нейтронов в стержнях связан с довольно трудоемким усреднением функции , ограничимся здесь простой оценкой компенсирующей способности, предположив, что стержень поглощает только тепловые нейтроны и является для них абсолютно черным. Следовательно, в двухгрупповом расчете принимаем

Величину находим по рис. 8. Из предыдущих расчетое имеем см, следовательно,

Далее вычисляем С, используя известные из предыдущих расчетов величины:

см;

По таблицам [10] находим

Подставив все эти величины в формулу (164), которую из-за громоздкости мы здесь переписывать не будем, получаем

Имеем также R = 127,5 см; 1,740; = 299 см²; = 115,3 см² (см. расчет боковой эквивалентной добавки). Из таблиц берем

и по формуле (163) вычисляем компенсирующую способность центрального стержня

Теперь предположим, что стержни расположены в реакторе равномерно, и оценим, какое количество стержней потребуется для компенсации реактивности в начале кампании, когда 1,115 (без учета зависимости k от температуры реактора или, как говорят, температурного эффекта реактивности):

стержня.

Для рассматриваемого реактора такое количество стержней слишком велико. Чтобы повысить компенсирующую способность каждого стержня и тем самым уменьшить их число, можно было бы увеличить диаметр стержней (конечно, до известных пределов) или выбрать для них материал, интенсивно поглощающий как тепловые, так и промежуточные нейтроны, например смесь бора и резонансных поглотителей. Однако в расчете не учитывалось поглощение в стержнях промежуточных нейтронов, которое далее в случае чисто борных стержней дает существенный вклад в компенсирующую способность; с учетом этого поглощения число стержней получилось бы, вероятно, приемлемым.

Наряду с системой стержней можно использовать другие способы компенсации реактивности, например выгорающие добавки, однако, это имеет смысл делать только в том случае, когда величина запаса реактивности является оправданной со всех точек зрения. В противном случае, как уже говорилось, следует принять другой вариант с меньшим запасом реактивности.