Глава 4. Элементы теории ошибок измерений.

4.1. Свойства случайных ошибок измерений.

4.1.1. Геодезические измерения сопровождаются ошибками: грубыми, сис­тематическими и случайными.

Грубые ошибки являются следствием промаха при производстве изме­рений. Для обнаружения грубых ошибок необходимо производить контроль- ные измерения и после обнаружения исключить их из результатов измерений.

Ошибки систематического характера возникают из-за влияния одно-

сторонних факторов, искажающих результаты измерений, например, от неправильной длины мерной ленты, наличия наклона горизонтальной оси вращения трубы и т.п. Во всех случаях следует стремиться к исключению или ослаблению ошибок систематического характера, введением поправок в результаты измерений.

Случайные ошибки неизбежны при выполнении измерений. Результат измерений по абсолютному значению может быть больше или меньше величины измеряемого объекта. Поэтому ошибка измерений будет иметь знак плюс или минус. При большом числе измерения какой-либо величины эти ошибки подчинены статистической закономерности. Установлено, что случайные ошибки обладают следующими свойствами:

1. Свойство ограниченности, т.е. абсолютные значения результатов измерений не могут быть больше некоторого известного предела, то есть | ∆| ≤ ∆_пред, величина этого предела зависит от условий, в которых производится измерение.

2. Свойство унимодальности, т.е. в данном ряду случайных ошибок малые по абсолютному значению ошибки встречаются чаще больших.

3. Свойство симметричности, т.е. в данном ряду результатов измерений положительные ошибки встречаются также часто, как и равные им по абсолютному значению отрицательные.

4. Свойство компенсации, среднее арифметическое из всех случайных ошибок данного ряда равно точных измерений одной и той же случайной величины при неограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю .

4.2. Арифметическая середина

4.2.1. Если имеется ряд результатов равноточных измерений l₁, l₂, . . . l_n одной и той же величины, то за окончательное значение принимают L – среднюю арифметическую величину из всех результатов.

Если Х – истинное значение измеряемой величины, то

∆₁ = l₁ –Х, ∆₂ = l₂ –Х, . . . , ∆_n = l _n –Х..

Сложив правые и левые части уравнения, получим

(∆₁ + ∆₂ +…+ ∆_n) =( l₁ + l₂ +…+l _n) - n Х

Или сокращенно [∆] = [ l ] - n Х, откуда

Х = [ l ]/n - [∆]/n.

Пo по четвертому свойству случайных сшибок с увеличением числа измерений [∆]/n. → 0.

Следовательно Х = [l] / n.

Таким образом, арифметическая средина есть наиболее надежный результат, который принимается за вероятнейшее значение измеряемой ве­личины.

ВОПРОС. Чему будет равно вероятнейшее значение длины линии, если результаты четырех измерений ее равны: 90.12, 90.18, 90.10, 90.12 (п. 4.2 .2)?

Ответ: 90.18

4.2.2. Если вычисленное Вами значение совпадает с ответом, то

переходите к изучению п..4.3. '

4.3. Средняя квадратическая ошибка отдельного

измерения; предельная ошибка.

4.3.1. Если точное значение измеряемой величины есть X, а измеренное l, то ∆ = X - l называют истинной ошибкой измерений.

Для ряда измерений с истинными ошибками ∆₁ + ∆₂ +…+ ∆_n средней квадратической ошибкой одного измерения называют величину

и принимают ее за меру точности измерений.

Предельной ошибкой называют наибольшее значение случайной ошибки, которого она может достичь ври данных условиях измерений. Теоретически доказывается, что она может быть больше средней квадратической в 32 случаях на 100, больше удвоенной средней квадратической только в 5 случаях из 100 и больше утроенной средней квадратической всего лишь в 8 случаях из 1000.

Следовательно, маловероятно, чтобы случайная ошибка измерений получилась больше утроенной средней квадратической. Поэтому утроенную среднюю квадратическую ошибку считают предельной

∆_пред = 3 m.

ВОПРОС. Что принимают за меру точности измерений?

1. Случайниую ошибку (п.4.3.2).

2. Среднюю арифметическую из случайных ошибок (п.4.3.3.).

3. Среднюю квадратическую ошибку (п.4.3.4).

Ответ 4.3.2. Нет. Случайную ошибку не принимают за меру точности. Выберите другой ответ.

Ответ 4.3.3. Нет. Среднюю арифметическую из случайных ошибок не принимают за точности. Выберите другой ответ.

Ответ 4.3.4. Правильно. Чтобы судить о степени точности данного ряда изме­рений, надо вывести среднюю ошибку отдельного измерения. Казалось бы, следовало взять среднее арифметическое из всех случайных ошибок. Од­нако, на величину этого среднего влияли бы разные знаки отдельных ошибок и могло случиться, что ряд с более крупными отдельными ошибками полу­чил бы меньшую среднюю ошибку, нежели ряд с меньшими ошибками. Если же составить среднее из абсолютных значений случайных ошибок, то при этом не будет достаточно отражено наличие в данном ряде отдельных, крупных ошибок, а чем крупнее в данном ряде отдельные ошибки, тем меньше его точность. Исходя из этих соображений установили такой кри­терий для оценки точности измерений, который не зависит от знаков отдельных ошибок и на котором наличие сравнительно крупных отдельных ошибок рельефно отражено. Этим требованиям удовлетворяет средняя квадратичеокая ошибка отдельного измерения.

Переходите к изучению п. 4.4.

4.4. Средняя квадратическая ошибка функций

измеренных величин.

4.4.1. Иногда искомую величину нельзя определить непосредственно, но можно найти ее значение косвенным путем, измерив одну или несколько величин связанных с определяемой величиной функциональной зависимостью.

1. Рассмотрим функцию Z = X + У, где X и У независимые слагаемые. Если случайные ошибки слагаемых Х и У, то

Z + Z = (X + Х) +(У + У),

Взяв разность, получим: Z = Х + У.

Если каждое влагаемое было измерено n раз, то мы можем получить ряд соотношений, которые возведя в квадрат, получим

Zi² = Хi ² + Уi² + 2 ХiУi

Сложив эти равенства и разделив их на n, получим:

Z² / n = Х²/n + У²/ n + 2 ХУ/ n ,

но каждое произведение ХУ обладает свойствами случайных ошибок при большом n последний член в правой части можно отбросить, тогда

Z² / n = Х²/n + У²/ n или m_z² = m_x² + m_y².

Этот же результат получим и для Z= Х - У

Когда m_x = m_y = m, то m_z = ± m √2.

2. Возьмем функцию Z = Х₁  Х₂ ……Х_п многих независимых величин. Пусть m_z, m₁, m₂, …, m_n средние квадратические ошибки функции и аргументов. Тогда

m_z² = m₁² + m₂² +…+ m_n².

В частном случае, когда все аргументы имеют одну и ту же среднюю квадратическую ошибку m предыдущая формула примет вид

m_z =  m√ n.

3. Возьмем функцию Z = КХ (К-постоянное число), для которой соотношение между случайными ошибками, будет

Z = К Х.

Если было n измерений величины Х, то будем иметь n уравнений. Возводя в квадрат каждое из них, получим n равенств вида

Zi² = К² Хi².

Сложив все уравнения и разделив на n, найдем [Z²]/n.= К² [Х²]/n

или m_z² = К² m_х² откуда m_z = К m_х

4. Пусть дана функция Z = К₁ Х₁ ± К₂ Х₂ ± … ±К_n.Х _n.

Положим Z₁ = К₁ Х₁ ; Z₂ = К₂ Х₂; … Z _n = К_n Х_n,

тогда m_z1 = К₁ m₁, m_z2 = К₂ m₂, …, m_{z n} = К_n m_n.

Теперь функция примет вид

Z = Z ₁ ± Z ₂ ± … ± Z _n.

для этой функции будем иметь

m_z² = m_z1² + m_z2² + m_zn².

Подставляя сюда значения m_zi получим:

m_z² = (К₁ m₁)² + (К₂ m₂)² +…+(К_nm _n)².

5. Рассмотрим теперь функцию самого общего вида от многих неза­висимых величин

Z = f (X₁ , X₂ , . . . Х_n )

Если Хi - случайные ошибки аргументов, то

Z +Z = f (X₁ + Х₁, X₂ + Х₂, . . . X_n + Х_n )

Разлагая функцию в ряд Тейлора, получим

Z +Z = f (X₁ , X₂ , . . . Х_n ) +

Откуда Z =

или обозначая получим Z = К₁Х₁ + К₂ Х₂,+ . . . +К_n Х_n.

Это выражение общего вида, следовательно

m_z² =

ВОПРОС. Чему рана ошибка в длине окружности, если радиус ее R = 100,00 м измерен в ошибкой m = 0,051 м? (п. 4.4.2)

Ответ 4.4.2. m = 0,320 м.

ВОПРОС. Чему равна ошибка суммы двух линий, измеренных с ошибками.

S₁ = 210,00 м ± 8,9 cм

S₂ =180,00 м ± 8,1 см ? (п. 4.4.3).

Ответ 4.4.3. S = 390.00 ±12 см

ВОПРОС. Чему рана ошибка площади треугольника, если основание в = 112,00 м измерено со средней квадратической ошибкой m_в = ± 5 см и высота с ошибкой m_h ± 3 см. Площадь треугольника р =3370,08 м2 (п. 4.4.4).:

Ответ 4.4.4. m_р = = ± 2.25 м.

Переходите к изучению п.4.5.

4.5. Средняя квадратическая ошибка арифметической средины.

4.5.1. Арифметическая средина определяется выражением

Х = =

Если оредняя квадратическая ошибка отдельного измерения есть m, а средняя квадратическая ошибка арифметической средины М, то

М² = ,

откуда М = ±

ВОПРОС. Если угол был получен как среднее арифметическое из четырех намерений со средней квадратической ошибкой отдельного измерения  4, какова средняя квадратическая ошибка такого угла? (п. 4.5.2).

Ответ 4.5.2. М = ± 2.

Переходите к изучений п. 4.6.

6. Выражение средней квадратической ошибки отдельного

измерения через вероятнейшие ошибки

4.6.1. В большинстве случаев точное значение измеряемой величины неизвестно и вместо истинных ошибок мы можем получить лишь уклонение отдельных результатов измерений от арифметический средины. Эти укло­нения называют вероятнейшими ошибками.

Пусть l₁, l₂, . . . l_n - результаты измерения какой-либо величины, точное значение которой l, а арифметическая средина Х.

Тогда истинная ошибка ∆i = l – l_i,,

а вероятнейшая ошибка v_i = X – l_i.

Откуда ∆i - v_i = l – X = δ, где

δ - истинная ошибка арифметической средины, или ∆i = v_i + δ.

Таких равенств можем написать n:

∆₁ = v₁ + δ, ∆₂ = v₂ + δ, … , ∆_n = v_n + δ

Возведем в квадрат эти равенства и сложим:

∆₁² + ∆₂²+…+ ∆_n²= v₁² + v₂²+ … + v_n² + nδ² + 2δ (v₁ + v₂+ … + v_n)

Или [∆² ] = [ v²] + nδ² + 2δ [v], но [v]= 0

тогда[∆² ] = [ v²] + nδ² или .

Примем за истинную ошибку арифметической средины

δ = М =

тогда m² = или nm² = [ v²] + m²

откуда m = ±

ВОПРОС. Угол намерен четыре раза:

₁ =5820, ₂ =5821, ₃ =5821, ₄ =5820,

Чему равны средние квадратические ошибки одного измерения н арифметической средины? (п. 4.6.2).

Ответ: m =  0,6, М =  0,3.

Переходите к изучению п.4.7.

4.7. Понятие о весе измерений и весовом среднем.

4.7.1. Результаты измерений какой-либо величины, выполнен-ные различным числом измерений в различных условиях или различными по точности инструментами, называются неравноточными и при выводе вероятнейшего значения измеренной величи­ны в этом случае уже нельзя брать просто арифметическое среднее, а необходимо будет принять во внимание достоинство каждого результата.

Достоинство результата измерений выражают числом называ-емым весом этого результата. Чем надежнее результат, тем больше его вес. Веса измерений устанавливают в зависимости от средних квадратических оши­бок. Чем меньше квадратическая ошибка, тем надежнее результат и тем больше его вес. Веса результатов измерений принимают обратно пропорциональными квадратам соответствующих им средних квадратических оши-­ бок т.е.

р₁ = с / т₁² ; р₂ = с / т₂²; и т.д. где С - постоянное

Откуда

ВОПРОС. Каков вес среднего арифметического из n равноточных изме­рений одной и той же величины, если вес одного измерения равен еди­нице?

Ответ Р = n .

Переходите к изучению п.4.7.3.

4.7.3. Весовое среднее или общая арифметическая средина. Пусть результаты измерений некоторой величины представлены в виде нескольких рядов, причем все отдельные измерения во всех рядах оди­наковой точности, но число измерений в рядах различное т.е. 1-й ряд:

а₁⁽¹⁾, а₂⁽¹⁾, … а_n1⁽¹⁾ всего n₁ измерений

2-й ряд:

а₁⁽²⁾, а₂⁽²⁾, … а_n2⁽²⁾ всего n₂ измерений

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

К-й ряд:

а₁^(к), а₂^(к), … а_nк^(к) всего n_к измерений

Найдем арифметическое среднее или вероятнейшее значение измеряе­мой величины из каждого ряда.

А₁ = [а⁽¹⁾ ] / n₁

А₂ = [а⁽²⁾] / n₂

. . . . . . . . . . . .

А_к =[а^(к)] / n_к

Так как число измерений в каждом ряде различно, то результаты неравноточны. Из последних равенств следует

[а⁽¹⁾ ] = А₁n₁

[а⁽²⁾] = А₂n₂

_. . . . . . . . . .

[а^(к)] = А_к n_к