1.2 Опорні задачі

Рис. 1.21

Вправа 1. У трикутнику АВС (рис. 1.21) вектор , вектор . Побудувати кожен
з наступних векторів , , , .

Розв’язання. Доповнимо трикутник до паралелограма ABDC (рис.1.21). Нехай М – точка перетину діагоналей AD і BC. Оскільки , то . Далі, оскільки , то (вектори і рівні, бо лежать на одній прямій, мають однакові напрямок і довжину).

А налогічно попереднім міркуванням , . Далі, .

Відзначимо для паралелограма ABDC такі очевидні рівності:

.

Рис. 1.22

Вправа 2. Вектори і утворять кут 60⁰, причому , (рис. 1.22). Визначити довжини векторів і .

Розв’язання. Побудуємо на векторах і трикутник ОАВ. Доповнимо його до паралелограма ОАCВ. Тоді , а . Відразу відзначимо, що . Оскільки , то .

Застосовуємо теорему косинусів^* для трикутника ОВС:

.

Тому . Застосовуємо тепер теорему косинусів для трикутника ОАВ:

Тому . Розв’язати дану задачу можна з використанням відомого твердження зі шкільного курсу планіметрії: сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

Тоді .

Також для знаходження модуля вектора можна застосувати скалярний добуток векторів:

.

Проведіть обчислення цими способами та переконайтесь у правильності розв’язку.

	Рис. 1.23

Вправа 3. Три сили , прикладені до однієї точки, мають взаємно перпендикулярні напрямки (рис. 1.23). Визначити величину їх рівнодіючої , якщо відомо, що (Н – одиниця сили, ньютон).

Розв’язання: Побудуємо на векторах паралелепіпед.

Тоді а , де вектор являє собою діагональ паралелепіпеда. Таким чином, рівнодіюча сил дорівнює .

Оскільки паралелепіпед прямий, то . Остаточно маємо: , тобто величина рівнодіючої дорівнює а напрямок збігається з діагоналлю .

Вправа 4. Вектори і утворять кут . Знаючи, що , обчислити кут між векторами та .

Розв’язання. Знайдемо скалярний добуток

Знайдемо довжини векторів і :

Знаходимо косинус кута між векторами і :

або .

Вправа 5. Дано дві точки А(1;2;-4) і В(-2;4;3). Знайти координати, довжину, напрямні косинуси та орт вектора .

Розв’язання.

, , – напрямні косинуси вектора , – орт вектора .

Вправа 6. Дано два вектори в декартовій системі координат , . Визначити проекції на координатні осі вектора .

Розв’язання. Напрямок осі Ох задається вектором , а осі Оу – вектором . Знаходимо координати вектора .

Обчислимо скалярні добутки:

,

Знаходимо проекції:

,

.

Вправа 7. Перевірити колінеарність векторів , . У випадку колінеарності встановити співвідношення їх довжин та напрямленість.

Розв’язання. Якщо вектори колінеарні, то існує таке число х, що , тобто . Остання векторна рівність еквівалентна трьом числовим рівностям: . Звідси знаходимо . Оскільки ми змогли знайти необхідне число x, то вектори колінеарні. Оскільки , то вектори напрямлені в протилежні сторони і вектор в 3 рази довший за вектор .