ЗАДАНИЯ И Методические рекомендации

по ВЫПОЛНЕНИЮ контрольнОЙ работЫ №2

по курсу «Математика»

для студентов направления «земельно-имущественные отношения»

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

В курсе «Математика» студенты-заочники 1 курса изучают дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения и ряды. Изучение этих разделов математики занимает важное место в формировании экономиста высокой квалификации и служит теоретической основой многих специальных учебных дисциплин. Это необходимо для общей экономической подготовки студентов, создания у них прочной базы независимо от области, в которой они в будущем будут работать. В методических указаниях к каждой контрольной работе приводится список рекомендованной учебной литературы, изучение которой необходимо для выполнения заданий. Указываются номера глав и параграфов учебников, а также номера задач, предназначенных для самостоятельной работы. В случае возникновения затруднений студент может обратиться на кафедру высшей математики за письменной консультацией. Необходимо строго придерживаться следующих правил:

1. Студент обязан делать работу только своего варианта, отсылая ее в Академию на рецензирование в сроки, предусмотренные графиком!

2. Контрольную работу следует выполнять на листах формата А4 чернилами любого цвета, кроме красного.

3. В конце работы необходимо привести список использованной литературы.

4. Перед решением задачи нужно полностью выписать ее условие. Если несколько задач имеют общую формулировку, переписывать следует только условие задачи нужного варианта.

Решение каждой задачи студент должен сопровождать подробными объяснениями и ссылками на соответствующие формулы, теоремы и правила. Вычисления должны быть доведены до конечного числового результата. Ответы и выводы, полученные при решении задач, следует подчеркнуть.

5. После получения отрецензированной работы студенту необходимо исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, то следует переделать те задачи, на которые указывает рецензент, а при отсутствии такого указания вся контрольная работа должна быть выполнена заново. Переделанная работа высылается на повторное рецензирование обязательно с не зачтенной ранее работой и рецензией к ней. При этом на обложке следует указать фамилию рецензента. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, к зачету не принимаются и возвращаются без рецензирования для переработки. При подготовке к экзамену следует еще раз обратиться к методическим указаниям и примерам, разобранным в них, вопросам для самопроверки и задачам, которые рекомендуется решить. На экзамен студент должен являться с зачтенными контрольными работами и рецензиями на них. Каждому студенту предлагается индивидуальное задание, состоящее из пяти задач в каждой из четырех контрольных работ. Для определения индивидуального задания контрольной работы 2 нужно использовать таблицу 1.

Вариант	Первая буква фамилии	Номера заданий стр.14
Вариант 1	А,Я,В	1,21,41,61
Вариант 2	Г,С,Е	2,22,42,62
Вариант 3	Ж,З,И	3,23,43,63
Вариант 4	Л,Х	4,24,44,64
Вариант 5	М,Н	5,25,45,65
Вариант 6	О,Р,Ш	6,26,46,66
Вариант 7	Д,Т,У	7,27,47,67
Вариант 8	П,Ф,Ц	8,28,48,68
Вариант 9	Ч,К,Щ	9,29,49,69
Вариант 10	Б,Э,Ю	10,30,50,70,90

Частное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Южно-Уральский институт управления и экономики»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине «Математика»

Вариант №___

Выполнил(а) студент(ка)

____________________________________________________

(Фамилия, имя, отчество)

____________________________________________________

(Адрес проживания)

Группа ______________________

Дата отправления «__» ____201_г.

Результат проверки____________________

Проверил преподаватель _______________

Дата проверки________________________

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2

Задача 1

Найти предел:

3x² + 11x + 10 x – 1 ^{3 – x/2}

а) lim ; г) lim ;

x→ -2 - x→∞ x + 3

x (sin 5x + sin 6x) lg (x + 1)

б) lim ; д) lim ;

x→0 x→0 sin 2x

tg² 3x

в) lim ; е) lim (e^3x – e^2x) ∙ ctg 4x

x→0 x→0

Решение:

а) Функция, предел которой при х→ -2 требуется найти, представляет собой частное двух функций. Однако применить теорему о пределе частного ([2], гл.6. § 5 теорема4) в данном случае нельзя, так как предел функции, стоящей в знаменателе, при х→ -2 равен нулю.

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель дроби, находящейся под знаком предела, на выражение , сопряженное знаменателю. Параллельно разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители:

3х² + 11х + 10 (3х + 5)(х + 2)( )

= =

( )( )

(3х + 5)(х + 2)( ) (3х +5)(х + 2)( )

= .

(х + 7) – (3 – х) 2(х + 2)

Сокращая теперь числитель и знаменатель последней дроби на общий множитель х + 2, получим новую функцию (3х + 5)( )

у = ,

2

которая отличается от данной значением лишь в одной точке х = -2: данная функция в этой точке не определена, а новая определена и непрерывна как элементарная функция ([2], гл.5, § 3). Поскольку переопределение функции в одной точке не сказывается на значении предела и поскольку для функции, непрерывной в точке х₀ , ее предел при х→х₀ равен значению этой функции в точке х₀ ([2], гл.6, §7), то

3x² + 11x + 10 (3х + 5)( ) (3 ∙ (-2) + 5)(

lim = lim = = - .

x→-2 x→-2 2 2

б) И в этом примере начнем преобразования с умножения числителя и знаменателя дроби, стоящей под знаком предела, на выражение, сопряженное к знаменателю:

х(sin 5x + sin 6x) x(sin 5x + sin 6x)( )

= =

(1 + x ∙ tg x) – (1 - x ∙ tg x)

x(sin 5x + sin 6x)( ) (sin 5x + sin 6x)( )

= = =

2x ∙ tg x 2x ∙ tg x

sin 5x + sin 6x cos x

= ∙ ∙ ( ).

sin x 2

Заметим, что пределы в нуле второго и третьего сомножителей как непрерывных в нуле функций равны их значениям в этой точке:

cos x

lim = ½ ; lim ( ) = 2

x→0 2 x→0

Чтобы найти предел первого сомножителя, разделим его числитель и знаменатель на х:

sin 5x + sin 6x sin 5x sin 6x

+

sin 5x + sin 6x x x x

= =

sin x sin x sin x

x x

Предел sin x

lim = 1

x→0 x

есть первый замечательный предел ([2], гл.6, § 6). Пределы легко

сводятся к нему. Например,

и после замены t = 5х :

sin 5x sin t

lim = lim = 1

x →0 5x x →0 t

sin 5x sin 6x

Следовательно, lim = 5. Аналогично, lim = 6. Теперь с помощью теорем о пре-

x →0 x x →0 x

деле частного и суммы ([2], гл.6, § 5, теорема 2,4) вычисляем предел первого сомножителя:

sin 5x sin 6x

lim + lim

sin 5x + sin 6x x →0 x x →0 x 5 + 6

lim = = = 11

x →0 sin x sin x 1

lim

x →0 x

Воспользовавшись, наконец, теоремой о пределе произведения ([2], гл. 6, § 5, теорема 3), окончательно получаем: sin 5x + sin 6x cos x

lim ∙ ∙ ( ) = 11∙ ½ ∙ 2 = 11

x →0 sin x 2

в) Избавляясь от иррациональности в знаменателе (так же, как и в предыдущих двух примерах) и применяя формулу 1 – cos 2x = 2sin²x, будем иметь:

tg²3x tg²3x ∙ ( )

lim = lim =

x →0 x →0 2 – (3 – cos 2x)

tg²3x tg²3x

= lim ( ) = lim ( )

x →0 cos 2x – 1 x →0 - 2sin²x

Предел в нуле функции у = найдем, воспользовавшись непрерывностью этой элементарной функции в нуле:

lim ( ) =

tg²3x

Предел в нуде функции у = найдем, разделив предварительно числитель и зна-

-2sin²x

менатель дроби в правой части равенства на х² и используя основные свойства предела :

tg²3x tg3x ² sin 3x ²

lim lim

tg²3x x² x →0 x x →0 x cos 3x

l im = - ½ ∙ lim = - ½ ∙ = - ½ ∙ =

x →0 -2sin²x x →0 sin²x sin x ² sin x ²

x² lim lim

x →0 x x →0 x

sin 3x 3 ²

lim ∙

x →0 3x cos 3x sin 3x 3 ² 3 ²

= - ½ ∙ = - ½ ∙ lim ∙ lim = - ½ ∙ 1 ∙ = - 9/2

1² x →0 3x x →0 cos 3x cos 0

Теперь, применяя теорему о пределе произведения, получим:

tg²3x tg²3x

lim = lim ∙ lim ( ) =

x →0 x →0 -2 sin² x x →0

г) Прежде всего преобразуем основание данной степенно-показательной функции:

х – 1 х + 3 – 3 – 1 (х + 3) – 4 4

= = =1-

х + 3 х + 3 х + 3 х + 3

4 х + 3 1 4 4

Введем новую переменную t = - . Тогда - = , х + 3 = - , х = -3 - .

х + 3 4 t t t

Заметим, что предел функции t при х→+∞ равен нулю, то есть t→0 при х→+∞.

Следовательно,

В конце мы воспользовались теоремой о пределе произведения, следствием теоремы о пределе сложной функции ([2], гл.6, § 5), вторым замечательным пределом ([2], гл.6, §6) и непрерывностью в нуле функции у = (1 + t)^9/2

д) Разделим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на х:

lg (x + 1)

lg (x + 1) x

=

sin 2x sin 2x

x

и рассмотрим пределы в нуле числителя и знаменателя получившейся большой дроби:

lg (x + 1) 1

lim = lim tg (x + 1) = lim lg (x + 1)^{1/ x} = lg lim (x + 1)^{1/ x} = lg e

x →0 x x →0 x x →0 x →0

и sin 2x 2sin 2x sin 2x

lim = lim = 2 ∙ lim = 2 ∙ 1 = 2.

x →0 x x →0 2x x →0 2x

Используя, наконец, теорему о пределе частного, получим:

lg (x + 1) lg (x + 1)

lim

x x →0 x lg e

lim = =

x →0 sin 2x sin 2x 2

x lim

x →0 x

е) Представим выражение под знаком предела в виде

e^x – 1

cos 4x e^x – 1 x

(e^3x – e^2x ) ∙ ctg 4x = (e^2x e^x – e^2x) ∙ = e^2x ∙ ∙ cos 4x = e^2x ∙ ∙ cos 4x

sin 4x sin 4x sin 4x

x

Легко находим: lim e^2x = e⁰ = 1; lim cos 4x = cos 0 = 1;

x →0 x →0

sin 4x 4sin 4x sin 4x

lim = lim = 4 ∙ lim = 4 ∙ 1 = 4

x →0 x x →0 4x x →0 4x

е^х - 1

Для вычисления предела функции у = при x →0 введем новую переменную

х

t = e^x – 1 . Тогда е^х = t + 1, x = ln (1 + t) причем предел в нуле непрерывной функции t = e^x – 1 равен значению функции в нуле: е⁰ – 1 = 1 – 1 = 0, то есть t→0 при x →0. Следовательно,

lim 1

e^x – 1 t 1 x →0 1 1

l im = lim = lim = = = = 1

x →0 x x →0 ln (1 + t) x →0 1/t ln (1 + t) lim ln (1 + t)^{1/ t} ln lim (1 + t)^{1/ t} ln e

x →0 x →0

Применяя теоремы о пределе произведения и частного, окончательно получаем:

e^x – 1

x

lim e^2x ∙ ∙ cos 4x = 1∙ ¼ ∙ 1 = ¼

x →0 sin 4x

x